Zeigen Sie die folgende Abschätzung, Lösen einer Ungleichung, höhere Mathematik

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie folgende Abschätzung

Für x, y ∈ [0,1] mit 0 < x < y gilt

\( e^{y^{2}} \) - \( e^{x^{2}} \) ≤ e(y-x)(y+x).

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz und bedanke mich im voraus!!

Answer 1

Nicht ganz zuende gedacht, wird aber vermutlich funktionieren: Nach Division durch (y-x)(y+x)=y²-x² steht links ein Differenzenquotient für die e-Funktion und rechts nur e. Der Differenzenquotient entspricht einer Sekantensteigung, und diese wird nach dem Mittelwertsatz an einer Stelle des Intervalls als Ableitung angenommen. Und die maximale Steigung der e-Funktion in diesem Intervall ist die Steigung an der Stelle 1, nämlich e.

Answer 2

Hallo,

folgendes ist ein wenig umständlich, führt aber IMHO zum Ziel. Zunächst substituiere ich$$a = e^{x^2-1}, \quad b = e^{y^2-1}$$da \(x,y \in [0,1]\) sind die Terme \(x^2-1\) und \(y^2-1\) kleiner 0. Somit gilt auch \(a,b \in[0,1]\). Und da \(x\lt y\) ist auch \(a\lt b\). Nun ein wenig umformen $$\begin{aligned} e^{y^2} - e^{x^2} &\le e^{(y-x)(y+x)} = e^{y^2-x^2} \\ e^{y^2-1} - e^{x^2-1} &\le \frac{e^{y^2}}{e^{x^2} \cdot e}\\ b - a &\le \frac {b}{a \cdot e} \\ e &\le \frac{b}{a(b-a)}  \end{aligned}$$Nun betrachte ich die Funktion $$f(a,b) = \frac{b}{a(b-a)}, \quad a,b \in [0,1] \space a \lt b$$und leite partiell nach \(a\) ab$$\frac {\partial F}{\partial a} = -\frac{b(b-2a)}{a^2(b-a)^2} $$ \(a\) läuft von \(0\) bis \(b\) und \(f\) hat an beiden Grenzen den Wert \(\infty\). Es existiert bei der Ableitung nur genau eine Nullstelle - nämlich bei \(a=b/2\). Man kann also davon ausgehen, dass es sich bei \(a=b/2\) um ein globales Minimum von \(f\) im Intervall \([0,b]\) handelt. Somit ist $$f\left(\frac b2, b \right) \le \frac{b}{a(b-a)} \\ \implies e \le \frac 4b \le \frac{b}{a(b-a)} $$und da \(0 \lt b\lt 1\) ist, ist dies immer erfüllt.