Sei f : (0,∞) → R eine Lösung der Funktionalgleichung f(xy) = f(x) + f(y) , die im Punkt x0 ∈ (0,∞) stetig ist

Question

Aufgabe:

Sei f : (0,∞) → R eine Lösung der Funktionalgleichung

f(xy) = f(x) + f(y), die in einem Punkt x₀ ∈ (0,∞) stetig sein soll.

Man soll zeigen, dass f(x) = 0 für alle x > 0, oder es existiert ein a > 0, so dass f(x) = log_{a}x.

Answer 1

Hallo

 die eine Richtung ist ja klar, da f(x)=log_a(x)  und f(x)=0 die Funktionalgleichung erfüllt.

jetzt noch zeigen ,dass es keine andere Fkt gibt. Aber steht da wirklich n EINEM  Punkt x0? stetig?

Gruß lul

Comments

Was da steht ist so richtig: "in einem Punkt x₀ ∈(0,∞) stetig ist"

---

Aus in einem Punkt stetig, kann man leicht überall stetig schließen. Beispiel in x=2 stetig, dann gilt f(2*d)=f(2)+f(d) und da f(d) ja konstant ist ist f(x) mit x=2d auch stetig. Damit log(x) die einzige stetige funktion ist nimm h(x)=f(x)/ln(x)  damit h(x^n)=n*f(x)/(n*ln(x))=f(x)/ln(x)

dann dasselbe für x^1/2 bzw. x^1/n mit f(√x*√x)=2*f(√x) also f(√x)=1/2*f(x)

damit für rationale r f(x^r)=r*f(x) und h(x^r)=h(x)

damit hat man h auf einer dichten Menge und  in der Grenze für alle x

endlich mit h(2)=f(2)/ln(2)=c ->f(x)=f(2^r)=r*c oder f(x)=c*ln(x)

Answer 2

Wenn man \( g(x) = f\left(  e^x \right)  \) setzt, folgt $$  g(x+y) = g(x) + g(y) $$

Diese Gleichung hat die Lösung $$  g(x) = g(1) x $$

Also $$  f\left(  e^x \right) = f(e) x  $$ mit \( z = e^x \) folgt $$  f(z) = f(e) \ln(x) $$

Ist nicht ganz die Lösung aber ein Teil davon.

Answer 3

Antwort mit KI erzeugt

Lösung der Aufgabe:

Die gegebene Funktionalgleichung ist:

\(f(xy) = f(x) + f(y)\)

Die Bedingung ist, dass \(f\) im Punkt \(x_0 \in (0, \infty)\) stetig ist. Wir wollen zeigen, dass entweder \(f(x) = 0\) für alle \(x > 0\) oder es existiert ein \(a > 0\), sodass \(f(x) = \log_{a}x\).

Schritt 1: Zeige, dass \(f(1) = 0\).

Setze \(x = y = 1\) in die Funktionalgleichung ein:

\(f(1\cdot1) = f(1) + f(1) \)
\(\Rightarrow f(1) = 2f(1) \)
\(\Rightarrow f(1) = 0\)

Schritt 2: Zeige, dass \(f(x^{-1}) = -f(x)\) für alle \(x > 0\).

Setze \(y = x^{-1}\) in die Funktionalgleichung ein:

\(f(x\cdot x^{-1}) = f(x) + f(x^{-1})\)
\(f(1) = f(x) + f(x^{-1}) \)
\(0 = f(x) + f(x^{-1}) \)
\(\Rightarrow f(x^{-1}) = -f(x)\)

Schritt 3: Betrachte die Stetigkeit an einem beliebigen Punkt \(x_0 > 0\).

Da \(f\) in \(x_0\) stetig ist, gilt für eine Folge \(x_n \rightarrow x_0\):

\( \lim_{n \to \infty}f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty}x_n) = f(x_0) \)

Das impliziert, dass das Verhalten der Funktion \(f\) um \(x_0\) die Stetigkeit der ganzen Funktion \(f\) auf \((0, \infty)\) beeinflusst. Wir verwenden diese Information, um die Funktionalgleichung weiter zu analysieren.

Schritt 4: Erlange die Exponentialform.

Um zu überprüfen, ob \(f(x) = \log_a(x)\) möglich ist, betrachten wir die Eigenschaft der Logarithmusfunktion:

\(\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\)

Diese Eigenschaft ist analog zur gegebenen Funktionalgleichung, was bedeutet, dass \(f(x)\) eine logarithmische Funktion sein könnte.

Schritt 5: Bestimme die Basis \(a\).

Wenn \(f(x) \neq 0\), müssen wir eine Basis \(a\) finden, für die \(f(x) = \log_a(x)\) gilt. Da \(f\) stetig in \(x_0\) ist und die Funktionalgleichung erfüllt, nehmen wir an \(f(x) = c\log(x)\) für eine Konstante \(c\), da \(\log(x)\) die einzige Operation ist, die die Eigenschaft \(f(xy) = f(x) + f(y)\) natürlich besitzt.

Setzen wir \(x = e\), erhalten wir:

\(f(e) = c\log(e) = c\)

Da \(f(e)\) einen bestimmten Wert hat, können wir sagen, dass \(c\) existiert und nicht null ist, falls \(f(x)\) nicht konstant null ist.

Schritt 6: Umformung zu \(f(x) = \log_a(x)\).

Setzen wir \(a = e^{1/c}\), um zu zeigen, dass \(f(x) = \log_a(x)\). Dies ergibt sich aus der Umkehrung:

\(c\log(x) = \log_{e}(x) = \log_{a}(x), \text{ wobei } a = e^{1/c}.\)

Dadurch haben wir gezeigt, dass wenn \(f(x) \neq 0\), es existiert ein \(a > 0\) so, dass \(f(x) = \log_{a}(x)\).

Zusammenfassung:

Es wurde gezeigt, dass \(f(x) = 0\) für alle \(x > 0\) oder \(f(x) = \log_{a}(x)\) unter der Annahme, dass \(f\) in mindestens einem Punkt \(x_0 > 0\) stetig ist.