Nochmal : Funktionalgleichung usw.

Question

Im Anschluss an Funktionalgleichung, Exponentialfunktion und Lösungsmenge : Kennt jemand eine unstetige Funktion f : ℝ→ℝ, die die Funktionalgleichung f(a+b) = f(a)*f(b) erfüllt ?

Comments

Wenn nicht du, wer dann?

:-)

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In welchem Kontext ist das von Bedeutung? Praktisches Beispiel??

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In welchem Kontext ist das von Bedeutung? Praktisches Beispiel??

Bei Exponentialfunktionen ist es doch gut, wenn man weiß, dass a^{2x} = (a^x)^2 gilt.

Mit nicht stetigen Funktionen habe ich mich weder in der Schule noch in der Uni herumschlagen müssen, weshalb mein Wissen auf dem Gebiet arg begrenzt ist.

Die frühe Mathematik entstand vor allem aus Anwendungsaufgaben. Inzwischen forschen die Mathematiker nicht mehr, um Aufgaben im Sachkontext zu lösen. Wobei aus dieser Forschung heraus auch wieder ein Sachkontext entstehen kann.

So wird inzwischen weltweit auf dem Gebiet der Kryptographie weltweit geforscht, um immer noch bessere Verschlüsselungen zu finden.

Auch die Künstliche Intelligenz ist ja aus reiner numerischer Mathematik entstanden.

Auch wenn also nicht zu jeder Forschung direkt eine Anwendung zu finden ist hofft man, dass damit Dinge möglich werden, an die man heute vielleicht noch gar nicht denkt.

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Jeder benutzt heute wie selbstverständlich ein Smartphone. Es ist unglaublich, wie viel Forschung dahinter steckt, auf den unzähligsten Gebieten.

Natürlich muss nicht jeder Schulabgänger so ein Smartphone verstehen geschweige denn entwickeln können, aber wir brauchen eben auch Menschen, die das können.

Und jetzt überleg dir mal, wie viel Prozent du von so einem Smartphone verstehst und entwickeln könntest.

Schon Platon sagte damals: "Ich weiß, dass ich nichts weiß". Und das gilt heute weit mehr als früher.

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Schon Platon sagte damals:

Das stammt von Sokrates, seinem Lehrer.

Danke für deine Ausführungen. An Kryptographie dachte ich auch, nicht nur weil es für mich kryptisch ist und sich kein Sinn erschloss.

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Da bisher niemand eine Funktion angegeben hat, vermute ich, dass man keine angeben kann.

Ich stelle daher mal folgende Überlegungen zur Diskussion :

ℝ ist ein Vektorraum über ℚ und hat daher eine Basis B = {1}∪{r_i}_i∈I (das ist auch so'n Ding, das gibt es aber niemand kann es angeben).
Für die Basisvektoren werde nun definiert f(1)=2 und f(r_i)=r_i.

Für rationale x ist dann f(x) = 2^x,
für irrationale x mit der eindeutigen Darstellung  \( x=\sum\limits_{j=1}^{n}{q_j·r_{i_j}} \) ist \( f(x)=\prod\limits_{j=1}^{n}{r_{i_j}}^{q_j} \)

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Ich denke man muss nur noch \(r_i>0\) für alle \(i\) fordern, dann ist das eine unstetige Lösung.

Answer 1

Hallo,

man kann mithilfe des Auswahlaxioms (bzw. Lemma von Zorn) nicht-stetige Lösungen \(g:\,\R\to\R\) zu der Funktionalgleichung $$ g(x+y)=g(x)g(y)\tag{1}$$ finden. Man kann sogar zeigen, dass jede Lebesgue-messbare Lösung schon stetig sein muss. Ich würde also vermuten, dass man ohne AC keine unstetige Lösung finden kann.

Nun erstmal ein paar Beobachtungen: Sei \(g:\,\R\to\R\) eine Lösung von (1)
(i) Falls \(g(x_0)=0\) für ein \(x_0\in\R\), dann gilt bereits \(g(x)=0\) für alle \(x\in\R\).

(ii) Für \(x\in\R\) ist \(g(2x)=g(x)^2\geq0\)

Jede unstetige Lösung von (1) muss also überall echt positiv sein.

Zusammenhang zur Cauchy Funktionalgleichung:
\(f:\R\to\R\) löst die Cauchy Funktionalgleichung, falls (für alle \(x,y\in\R\)): $$f(x+y)=f(x)+f(y)\tag{2}$$

Es ist sicherlich bekannt, dass jede stetige Lösung zu (2) die Form \(f(x)=cx\) für ein \(c\in \R\) hat.

Wenn nun \(f\) eine Lösung von (2) ist, dann ist \(g(x):=e^{f(x)}\) eine Lösung zu (1). Wenn darüber hinaus \(f\) unstetig (bzw. nicht Lebesgue messbar) ist, dann ist auch \(g\) unstetig (bzw. nicht Lebesgue messbar), denn nach (ii) gilt \(f(x)=\log(g(x))\).

Es reicht also eine unstetige Lösung zu (2) zu finden.

Unstetige Lösung der Cauchy Funktionalgleichung:

Man kann zeigen: Es gibt eine Menge \(\mathcal B\subseteq \R\), sodass sich jedes \(x\in\R\) eindeutig als endliche Linearkombination von Elementen aus \(\mathcal B\) über \(\mathbb Q\) schreiben lässt. Das heißt für jedes \(x\in\R\backslash\{0\}\) existieren eindeutige \(m_x\in\mathbb N,\,\lambda_1,\dots,\lambda_{m_x}\in\mathbb Q\backslash\{0\},\,b_1,\dots,b_{m_x}\in\mathcal B\) mit $$x=\sum_{i=1}^{m_x}\lambda_ib_i$$
(Stichwort (Hamel-)Basis, betrachte \(\R\) als Vektorraum über \(\mathbb Q\). Für die Existenz braucht man AC / Lemma von Zorn. Man kann auch bspw. \(1\in\mathcal B\) wählen.)
Jetzt reicht es \(f\) auf den Elementen aus \(\mathcal B\) zu definieren und man erhält eine \(\mathbb Q\)-lineare Abblidung die insbesondere (2) erfüllt. Auf diesem Weg kann man sicherlich erreichen, dass \(f\) nicht die Form \(f(x)=cx\) hat und damit auch nicht stetig (und auch nicht Lebesgue messbar) ist.

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Danke für die Bestätigung und Präzisierung meiner Ausführungen.