Sei f : (0,∞) → R eine Lösung der Funktionalgleichung f(xy) = f(x) + f(y) , die im Punkt x0 ∈ (0,∞) stetig ist

Question

Aufgabe:

Sei f : (0,∞) → R eine Lösung der Funktionalgleichung

f(xy) = f(x) + f(y), die in einem Punkt x₀ ∈ (0,∞) stetig sein soll.

Man soll zeigen, dass f(x) = 0 für alle x > 0, oder es existiert ein a > 0, so dass f(x) = log_ax.

Answer 1

Hallo

 die eine Richtung ist ja klar, da f(x)=log_a(x)  und f(x)=0 die Funktionalgleichung erfüllt.

jetzt noch zeigen ,dass es keine andere Fkt gibt. Aber steht da wirklich n EINEM  Punkt x0? stetig?

Gruß lul

Comments

Was da steht ist so richtig: "in einem Punkt x₀ ∈(0,∞) stetig ist"

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Aus in einem Punkt stetig, kann man leicht überall stetig schließen. Beispiel in x=2 stetig, dann gilt f(2*d)=f(2)+f(d) und da f(d) ja konstant ist ist f(x) mit x=2d auch stetig. Damit log(x) die einzige stetige funktion ist nimm h(x)=f(x)/ln(x)  damit h(xⁿ)=n*f(x)/(n*ln(x))=f(x)/ln(x)

dann dasselbe für x¹/2 bzw. x¹/n mit f(√x*√x)=2*f(√x) also f(√x)=1/2*f(x)

damit für rationale r f(x^r)=r*f(x) und h(x^r)=h(x)

damit hat man h auf einer dichten Menge und  in der Grenze für alle x

endlich mit h(2)=f(2)/ln(2)=c ->f(x)=f(2^r)=r*c oder f(x)=c*ln(x)

Answer 2

Wenn man $g(x) = f\left( e^x \right)$ setzt, folgt $$g(x+y) = g(x) + g(y)$$

Diese Gleichung hat die Lösung $$g(x) = g(1) x$$

Also $$f\left( e^x \right) = f(e) x$$ mit $z = e^x$ folgt $$f(z) = f(e) \ln(x)$$

Ist nicht ganz die Lösung aber ein Teil davon.

Answer 3

Antwort mit KI erzeugt

Lösung der Aufgabe:

Die gegebene Funktionalgleichung ist:

$f(xy) = f(x) + f(y)$

Die Bedingung ist, dass $f$ im Punkt $x_0 \in (0, \infty)$ stetig ist. Wir wollen zeigen, dass entweder $f(x) = 0$ für alle $x > 0$ oder es existiert ein $a > 0$, sodass $f(x) = \log_{a}x$.

Schritt 1: Zeige, dass $f(1) = 0$.

Setze $x = y = 1$ in die Funktionalgleichung ein:

$f(1\cdot1) = f(1) + f(1)$
$\Rightarrow f(1) = 2f(1)$
$\Rightarrow f(1) = 0$

Schritt 2: Zeige, dass $f(x^{-1}) = -f(x)$ für alle $x > 0$.

Setze $y = x^{-1}$ in die Funktionalgleichung ein:

$f(x\cdot x^{-1}) = f(x) + f(x^{-1})$
$f(1) = f(x) + f(x^{-1})$
$0 = f(x) + f(x^{-1})$
$\Rightarrow f(x^{-1}) = -f(x)$

Schritt 3: Betrachte die Stetigkeit an einem beliebigen Punkt $x_0 > 0$.

Da $f$ in $x_0$ stetig ist, gilt für eine Folge $x_n \rightarrow x_0$:

$\lim_{n \to \infty}f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty}x_n) = f(x_0)$

Das impliziert, dass das Verhalten der Funktion $f$ um $x_0$ die Stetigkeit der ganzen Funktion $f$ auf $(0, \infty)$ beeinflusst. Wir verwenden diese Information, um die Funktionalgleichung weiter zu analysieren.

Schritt 4: Erlange die Exponentialform.

Um zu überprüfen, ob $f(x) = \log_a(x)$ möglich ist, betrachten wir die Eigenschaft der Logarithmusfunktion:

$\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$

Diese Eigenschaft ist analog zur gegebenen Funktionalgleichung, was bedeutet, dass $f(x)$ eine logarithmische Funktion sein könnte.

Schritt 5: Bestimme die Basis $a$.

Wenn $f(x) \neq 0$, müssen wir eine Basis $a$ finden, für die $f(x) = \log_a(x)$ gilt. Da $f$ stetig in $x_0$ ist und die Funktionalgleichung erfüllt, nehmen wir an $f(x) = c\log(x)$ für eine Konstante $c$, da $\log(x)$ die einzige Operation ist, die die Eigenschaft $f(xy) = f(x) + f(y)$ natürlich besitzt.

Setzen wir $x = e$, erhalten wir:

$f(e) = c\log(e) = c$

Da $f(e)$ einen bestimmten Wert hat, können wir sagen, dass $c$ existiert und nicht null ist, falls $f(x)$ nicht konstant null ist.

Schritt 6: Umformung zu $f(x) = \log_a(x)$.

Setzen wir $a = e^{1/c}$, um zu zeigen, dass $f(x) = \log_a(x)$. Dies ergibt sich aus der Umkehrung:

$c\log(x) = \log_{e}(x) = \log_{a}(x), \text{ wobei } a = e^{1/c}.$

Dadurch haben wir gezeigt, dass wenn $f(x) \neq 0$, es existiert ein $a > 0$ so, dass $f(x) = \log_{a}(x)$.

Zusammenfassung:

Es wurde gezeigt, dass $f(x) = 0$ für alle $x > 0$ oder $f(x) = \log_{a}(x)$ unter der Annahme, dass $f$ in mindestens einem Punkt $x_0 > 0$ stetig ist.