Fällt ein Körper mit Masse \( m=1 \) unter Einfluss der Schwerkraft, so wird die turbulente Reibung des Mediums durch eine Kraft \( F_{r}=\mu v^{2}(t) \) in Abhängigkeit der momentanen Geschwindigkeit modelliert. Dieses Modell wird auch Newton'sche Reibung genannt. Die Bewegung lässt sich durch die Differenzialgleichung
\( x^{\prime \prime}(t)+\mu\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}=g \)
beschreiben, wobei \( x(t) \) die bis zur Zeit \( t \) zurückgelegte Höhendifferenz, \( v(t)=x^{\prime}(t) \) die Geschwindigkeit, \( \mu \) den Reibungskoeffizienten und \( g \) die Erdbeschleunigung bezeichnen.
a) Rechnen Sie nach, dass die Funktion
\( x(t)=\frac{1}{\mu} \ln (\cosh (\sqrt{\mu g} t)) \)
die Lösung dieser Gleichung mit den Eigenschaften \( x(0)=x^{\prime}(0) \) ist.
b) Zeigen Sie, dass diese Lösung für \( \mu \rightarrow 0 \) gegen die bekannte Lösung, \( x(t)=\frac{g}{2} t^{2} \), des freien Falls im Vakuum konvergiert:
\( \lim \limits_{\mu \rightarrow 0} \frac{1}{\mu} \ln (\cosh (\sqrt{\mu g} t))=\frac{g}{2} t^{2} . \)
