Wie stellt man diese Kreisgleichung auf?

Question

Aufgabe:

Gib die Kreisgleichung einer Kreislinie k im ersten Quadranten, die die y-Achse berührt, die x-Achse schneidet und durch den Punkt P=(3|4) geht, in allgemeiner Form und in Koordinatenform an.

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht auf die Lösung. Bitte um Lösung mit Rechenweg. Laut Lösungsheft sollte Folgendes herauskommen:

k:(x-2,25)² + (y-1,88)² = 5,08   bzw. x² + y² - 4,5x - 3,76y = -3,52

Comments

Laut Lösungsheft sollte Folgendes herauskommen:

Falls nur eine Lösung möglich ist, dann fehlt bei Deiner Aufgabenstellung noch eine Angabe.

Vielleicht ?

... die x-Achse bei x=1 schneidet ...

Answer 1

Es gibt unendlich viele Kreise mit den drei gegebenen Eigenschaften.

Der Kreis aus der Musterlösung ist übrigens falsch. Er berührt die y-Achse nicht, er schneidet sie.

Und durch den Punkt (3|4) geht er auch nicht.

Was ist die Person eigentlich von Beruf, die diese Musterlösung erstellt hat?

Answer 2

Hallo,

stelle die allgemeine Kreisgleichung auf$$\left( \vec x - \vec m\right)^2 = r^2 $$Damit der Kreis die Y-Achse berührt, muss \(m_x=r\) sein. Weiter muss der Punkt \(P(3|\, 4)\) die Kreisgleichung erfüllen. Einsetzen gibt:$$\begin{aligned} \left( \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} r\\m_y \end{pmatrix}\right)^2 &= r^2 \\ (3-r)^2 + (4-m_y)^2 &= r^2 \\ 9 - 6r + r^2 + 16 - 8m_y + m_y^2 &= r^2 \\ 25 - 6r - 8m_y + m_y^2 &= 0 \\ m_{y1,2} &= 4 \pm \sqrt{16 + 6r - 25} \\ &= 4 \pm \sqrt{6r-9} \end{aligned}$$... einen Zusammenhang zwischen \(m_y\) und dem Radius \(r\) des Kreises. Und damit beliebig viele Lösungen. Damit die X-Achse geschnitten wird, wähle ich $$m_y = 4 - \sqrt{6r-9}$$In Desmos sieht das so aus: