Abschätzung für die Ungleichung 2\sqrt{n}+\frac{1}{n+1}\leq 2\sqrt{n+1}

Question

Hallo Zusammen,

beweisen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

$$\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq 2 \sqrt{n}$$

Konkret, welche Abschätzung könnte man treffen um diese Ungleichung zu zeigen?

$$2\sqrt{n}+\frac{1}{n+1}\leq 2\sqrt{n+1}$$

Mfg

Answer 1

Stelle die Ungleichung um und mache folgenden Standard-Trick:

$$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \frac 2{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\geq \frac 2{2\sqrt{n+1}}\geq \frac 1{n+1}$$

Answer 2

Die Ungleichung gilt

⇔\( \frac{\sqrt{n}}{n+1} \)+\( \frac{1}{(2n+2)^{2}} \)<1.

Comments

Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = x^1,5 ist streng monoton wachsend, deshalb ist ihre Sekantensteigung im Intervall [n , n+1] größer als ihre Tangentensteigung an der Stelle n.
Diese Ungleichung lässt sich in die zu zeigende umformen (gegen Ende braucht man noch √n ≥ 1).