Abschätzung mit Tschebyscheffer Ungleichung

Question

Ich soll für X ~ N(0,1) die Wahrscheinlichkeiten P(-k< X < k), wobei k={1,3,5,10,100} ist. Anschließend soll ich die Ergebnisse mit der Abschätzung vergleichen, die sich aus der Tschebyscheffschen Ungleichung ergeben.

Die Wahrscheinlichkeiten sind nach Aufgabe normalverteilt. Die Wahrscheinlichkeiten habe ich bestimmt. Irgenwie verstehe ich das mit der Tschebyscheffschen Ungleichung nicht so richtig. Kann mir das jemand vielleicht an einem Beispiel zeigen?

Answer 1

Mittels Normalverteilung
P(-k ≤ X ≤ k) = Φ(k) - Φ(-k) = Φ(k) - (1 - Φ(k)) = 2·Φ(k) - 1
P(-3 ≤ X ≤ 3) = Φ(3) - Φ(-3) = 0.9973002039

Mittels Tschebyscheffschen Ungleichung
P(-k ≤ X ≤ k) ≥ 1 - 1/k^2
P(-3 ≤ X ≤ 3) ≥ 1 - 1/3^2 = 0.8888888888