Abschätzung Ungleichung mit ln

Question

diese Aufgabe steht unter der Überschrift Konvexität. Muss ich hier mehr als nur ln Rechenregeln anwenden um die Ungleichung zu zeigen, also umformen? Oder wie mache ich das? Vielen Dank für die Hilfe

Answer 1

Du musst die berühmte Ungleichung über das arithmetische und geometrische Mittel anwenden,

siehe : https://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel#Formale_Formulierung

die besagt für 2 Werte     √(ab) ≤ (a+b)/2 = a/2 + b/2   #

also ln (  √(ab)  )  ≤ ln ( a/2 + b/2 )

        0,5 * ln(ab)  ≤ ln ( a/2 + b/2 )

                ln(ab)  ≤  2 *  ln ( a/2 + b/2 ) .

Eventuell musst du # ja noch beweisen, etwa so:

       √(ab) ≤ (a+b)/2

          2*√(ab) ≤ (a+b)

            4ab  ≤ (a+b)^2  = a^2 + 2ab + b^2

             0  ≤ a^2 - 2ab + b^2

             0  ≤ (a-b)^2   was offenbar stimmt:

Quadrate sind nie negativ !