Die Vektoren der kanonischen Basis als Linearkombinationen dieser Menge darstellen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass folgende Menge von Vektoren eine Basis von \( \mathbb{R}^{4} \) ist:
\( \left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 5 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)\right\} . \)

Problem/Ansatz:

Das die Menge von Vektoren eine Basis von ℝ^4 ist habe ich gezeigt:

\( \left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 5 & w \\ 0 & 2 & 0 & -10 & -2 w+x \\ 0 & 0 & 3 & 15 & \frac{6 w-3 x+2 y}{2} \\ 0 & 0 & 0 & -16 & \frac{-12 w+6 x-4 y+3 z}{3}\end{array}\right) \)

Zusätzlich soll man nun die Vektoren der kanonischen Basis als Linearkombinationen dieser Menge darstellen:

Die kanonische Basis wäre ja:

\( \begin{aligned} e_{1} & =(1,0,0, 0, 0) \\ e_{2} & =(0,1,0, 0, 0) \\  e_{3} & =(0,0,1, 0, 0)  \\ e_{4} & =(0,0,0, 0, 1) \\\end{aligned} \)

Jetzt steh ich auf der Leitung, wie weiter zu machen ist - danke für Hilfe ☺

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das die Spalten bzw. Zeilenvektoren der Matrix aufspannen. Die 4 Vektoren bilden daher genau dann eine Basis des \(\mathbb R^4\), wenn ihre Determinante ungleich \(0\) ist, wenn sie also ein 4-dimensionales Volumen aufspannen:

$$\left|\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 5\\2 & 2 & 0 & 0\\0 & 3 & 3 & 0\\0 & 0 & 4 & 4\end{array}\right|=-96\ne0\quad\checkmark$$

Die Darstellung der kanonischen Basis erhältst du mit der Inversen:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 5\\2 & 2 & 0 & 0\\0 & 3 & 3 & 0\\0 & 0 & 4 & 4\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{48}\left(\begin{array}{rrrr}-12 & 30 & -20 & 15\\12 & -6 & 20 & -15\\-12 & 6 & -4 & 15\\12 & -6 & 4 & -3\end{array}\right)$$

Es gilt daher:$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}=-\frac{12}{48}\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix}+\frac{12}{48}\begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix}-\frac{12}{48}\begin{pmatrix}0\\0\\3\\4\end{pmatrix}+\frac{12}{48}\begin{pmatrix}5\\0\\0\\4\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}=\phantom-\frac{30}{48}\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix}-\frac{6}{48}\begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix}+\frac{6}{48}\begin{pmatrix}0\\0\\3\\4\end{pmatrix}-\frac{6}{48}\begin{pmatrix}5\\0\\0\\4\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}=-\frac{20}{48}\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix}+\frac{20}{48}\begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix}-\frac{4}{48}\begin{pmatrix}0\\0\\3\\4\end{pmatrix}+\frac{4}{48}\begin{pmatrix}5\\0\\0\\4\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}=\phantom-\frac{15}{48}\begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix}-\frac{15}{48}\begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix}+\frac{15}{48}\begin{pmatrix}0\\0\\3\\4\end{pmatrix}-\frac{3}{48}\begin{pmatrix}5\\0\\0\\4\end{pmatrix}$$

Comments

Danke für die ausführliche Erklärung

Answer 2

Du hättest die 5. Spalte einfach durch den Nullvektor ersetzen können. Wäre beim lösen vom LGS einfacher gewesen, denn wenn du 4 Vektoren aus dem ℝ^4 hast zeigst du dass sie eine Basis sind, indem du zeigst dass sie linear unabhängig sind. Linear unabhängig sind sie, wenn die einzige Lösung von

$$ \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+ \lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0, \quad \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0$$

ist.

Für die Linearkombination musst du das LGS

$$\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0&5\\ 2 & 2 & 0&0\\ 0 & 3 & 3&0\\0&0&4&4\end{matrix}\left|\begin{matrix}1\\ 0\\ 0\\0\end{matrix}\right) \right.$$

für jeden der Einheitsvektoren lösen.

Die Lösung

$$x_1,x_2,x_3,x_4$$

vom LGS gibt dann die Skalare deiner Vektoren an.

$$x_1v_1+x_2v_2+x_3v_3+x_4v_4=e_1$$

LG