Ist diese Menge eine Basis von R4×1?

Question

Aufgabe:

Stelle die Vektoren der kanonischen Basis von R⁴×1 als Linearkombinationen der Menge {(1,2,0,0)^T,(0,2,3,0)^T,(0,0,3,4)^T,(5,0,0,4)^T}
dar.

Ist diese Menge eine Basis von R⁴×1?

Answer 1

Löse die Gleichung

        $p\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix} + q\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\3\\4\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\0\\0\\4\end{pmatrix} = \hat{e}$

für jeden Vektor $\hat{e}$ der Standardbasis.

Falls jede dieser Gleichungen eine Lösung hat, dann ist die Menge eine Basis von $\mathbb{R}^{4\times 1}$.

Comments

Text erkannt:

${ }^{1)}\left\{(1,2,0,0)^{\top},(0,2,3,0)^{\top},(0,0,3,4)^{\top},(5,0,0,4)^{\top}\right\}, \mathbb{R}^{4 \times 1}$ $b$
schreiben dese in Spalten!
1). $\begin{array}{llll}R_{2} & -2 & 2 & R_{1}\end{array}$ $\{4$ 年的 4 Losen!
3) $R_{3}-3 R_{2}$ $\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 3 & 15 \\ 0 & 6 & 4 & 4\end{array}\right)$
$\begin{array}{ll}r \cdot 1+u \cdot 5-1 \rightarrow & r+5 u=1 \\ r \cdot 2+s \cdot 2=0 \rightarrow & 2 r+2 s=0 \\ s: 3+t \cdot 3=0 \rightarrow & 3 s+3 t=0 \\ t \cdot 4+u \cdot 4=0 \rightarrow & 4 t+4 u=0\end{array}$
4) $R_{3} / 3$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 4\end{array}\right)$ 5) $R_{4},-4 R_{3}$ $\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -16\end{array}\right)$
Duls der ersten aleichup erhalten
fur den vektor $(\vec{v})(1,0,0,0)$
6) $R_{4} \cdot 1-16$ Damit ergibt sich s
$\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
7) $R_{1}-3 R_{4}$ $R_{1}-3 R_{4}$ $R_{2}+5 R_{4}$ $r=1-u=5$ zusomimen $\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ $\rightarrow r=-\frac{1}{4}$ LDS $\left.=\frac{1}{4} \quad\right\}$ also hoben wir als Linearkombination $\begin{aligned} \text { L } u=\frac{1}{4} \quad &(1,0,0,0)--\frac{1}{4} \cdot(1,2,0,0)+\frac{1}{4} \cdot(2,2,0,0)-\frac{1}{4} \cdot(0,3,3,0) \\ &+(0,0,4,4) \end{aligned}$

Stimmt das so?

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Ob das so stimmt kann du mit einer Probe selbst herausfinden.