Ist diese Menge eine Basis von R^4×1?

Question

Aufgabe:

Stelle die Vektoren der kanonischen Basis von R^4×1 als Linearkombinationen der Menge {(1,2,0,0)^T,(0,2,3,0)^T,(0,0,3,4)^T,(5,0,0,4)^T}
dar.

Ist diese Menge eine Basis von R^4×1?

Answer 1

Löse die Gleichung

        \(p\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\0\\0\end{pmatrix} + q\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\3\\0\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\3\\4\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}5\\0\\0\\4\end{pmatrix} = \hat{e}\)

für jeden Vektor \(\hat{e}\) der Standardbasis.

Falls jede dieser Gleichungen eine Lösung hat, dann ist die Menge eine Basis von \(\mathbb{R}^{4\times 1}\).

Comments

Text erkannt:

\( { }^{1)}\left\{(1,2,0,0)^{\top},(0,2,3,0)^{\top},(0,0,3,4)^{\top},(5,0,0,4)^{\top}\right\}, \mathbb{R}^{4 \times 1} \) \( b \)
schreiben dese in Spalten!
1). \( \begin{array}{llll}R_{2} & -2 & 2 & R_{1}\end{array} \) \( \{4 \) 年的 4 Losen!
3) \( R_{3}-3 R_{2} \) \( \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 3 & 15 \\ 0 & 6 & 4 & 4\end{array}\right) \)
\( \begin{array}{ll}r \cdot 1+u \cdot 5-1 \rightarrow & r+5 u=1 \\ r \cdot 2+s \cdot 2=0 \rightarrow & 2 r+2 s=0 \\ s: 3+t \cdot 3=0 \rightarrow & 3 s+3 t=0 \\ t \cdot 4+u \cdot 4=0 \rightarrow & 4 t+4 u=0\end{array} \)
4) \( R_{3} / 3 \) \( \left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 4\end{array}\right) \) 5) \( R_{4},-4 R_{3} \) \( \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & -16\end{array}\right) \)
Duls der ersten aleichup erhalten
fur den vektor \( (\vec{v})(1,0,0,0) \)
6) \( R_{4} \cdot 1-16 \) Damit ergibt sich s
\( \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)
7) \( R_{1}-3 R_{4} \) \( R_{1}-3 R_{4} \) \( R_{2}+5 R_{4} \) \( r=1-u=5 \) zusomimen \( \left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \) \( \rightarrow r=-\frac{1}{4} \) LDS \( \left.=\frac{1}{4} \quad\right\} \) also hoben wir als Linearkombination \( \begin{aligned} \text { L } u=\frac{1}{4} \quad &(1,0,0,0)--\frac{1}{4} \cdot(1,2,0,0)+\frac{1}{4} \cdot(2,2,0,0)-\frac{1}{4} \cdot(0,3,3,0) \\ &+(0,0,4,4) \end{aligned} \)

Stimmt das so?

---

Ob das so stimmt kann du mit einer Probe selbst herausfinden.