Bestimmen Sie die darstellende Matrix A

Question

Aufgabe:

Für k ∈ N0 seien die Polynomfunktionen

\( p_{k}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad p_{k}(x):=x^{k} \)

geben. Es sei

\( \mathcal{B}:=\left\{p_{0}, p_{1}, p_{2}\right\}, \quad \mathcal{P}_{2}:=\operatorname{span}(\mathcal{B}) \)

der Vektorraum aller Polynome vom Grad höchstens 2 mit Basis B. Wir versehen P2
mit dem Skalarprodukt

\( (p, q):=\int \limits_{-1}^{1} p(x) q(x) \mathrm{d} x \)

1. Bestimmen Sie die darstellende Matrix A

2.Geben Sie eine ONB für P2 an

Hat einer von euch evtl. einen Ansatz dazu? Da q(x) nicht definiert ist und es sich um ein skalarprodukt im Integral handelt, komme ich nicht weiter.

LG

Answer 1

Für die Matrix brauchst du nur die Skalarprodukte der Basisvektoren:

\(   (p_o,p_o) =\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot 1  \mathrm{d} x = 2 \)

\(  (p_o,p_1) =\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot x \mathrm{d} x = 0 \)

\(  (p_o,p_2) =\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot x^2  \mathrm{d} x^2 = \frac{2}{3} \)

etc.

Dann auf die gegebene Basis Gram-Schmidt-Verfahren

( s. etwa https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens ) anwenden.

Da wären ja w1=1 und w2=x und w3=x^2.

w1 normieren gibt v1=0,5.

Ansatz für v2 ' = w2 - (v1,w2)*v1

Es ist  \(  (v_1,w_2) =\int \limits_{-1}^{1} 0,5 \cdot x \mathrm{d} x = 0 \) also \(  v_2 ' = w_2 = x \) und

\(  (v_2',v_2') =\int \limits_{-1}^{1} x \cdot x \mathrm{d} x = \frac{2}{3} \)

also \(  v_2 =  \frac{3}{2} \cdot x \)  etc.