Aufgabe:
Berechnen Sie die Eigenwerte und eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von
A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) und diagonalisieren Sie A.
Problem/Ansatz:
Charakteristisches Polynom von A = t2 -2t + (1-12) = 0 ⇔ t(t-2) = 0
t1 = 0, t2 = 2
Für EW t1 = 0 gilt:
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)
x1 + x2 = 0 => x1 = -x2
v1 = \( \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \) \( \frac{1}{sqrt(2)} \) ist normierter EV zu EW t1 = 0.
Für EW t2 = 2 gilt:
v2 = \( \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \) \( \frac{1}{sqrt(2)} \) ist normierter EV zu EW T2 = 2, da das Skalarprodukt <v1,v2> = 0 ist. Beide Vektoren stehen orthogonal zueinander.
Die Diagonalmatrix D wäre also dann:
\( \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \). Somit hätte ich A diagonalisiert, richtig?
Die Matrix S wäre dann
\( \frac{1}{sqrt(2)} \) \( \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) und würde gleichzeitig eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bilden, richtig?
Habe ich diese Aufgabe so vollständig und korrekt gelöst?
