Orthonormalbasis von Eigenvektoren

Question

seien \(v_1,...,v_q\) eine Orthonormalbasis von Eigevektoren und mit zugehörigen Eigenwerten \(\lambda_1,..., \lambda_q\). Dann gilt für passende \(\alpha_i\), dass \(x=\sum_{i=1}^q \alpha_i v_i\), wobei \(\|x\| =1 \). Weiter ist mit einer symmetrischen Matrix \(A\)

\(\langle Ax,x \rangle = x^TAx =\sum_{i,j} \overline{\alpha_i}(v_i)^T A \alpha_j v_j = \sum_{i,j} \overline{\alpha_i} \alpha_j(v_i)^T \lambda_j v_j \stackrel{?}{=} \sum_{i=1}^q |\alpha_i|^2 \lambda_i \stackrel{?}{\leq} \max_{i \in \{1,...,q\}} \lambda_i \sum_{i=1}^q |\alpha_i|^2 = \max_{i \in \{1,...,q\}} \lambda_i \)

die vorletzten beiden Schritte verstehe ich leider nicht, hauptsächlich des erste "?" über dem "=".

Kann es mir jemand erklären?

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

Das erste Fragezeichen löst sich auf, weil die Vektoren \(\vec v_i\) orthonormal zueinander stehen:$${\vec v_i}^T\cdot\vec v_k=\left\{\begin{array}{l}1 &;& i=k\\0 & ; &i\ne k\end{array}\right.$$Beim zweiten Fragezeichen werden einfach alle \(\lambda_i\) durch das größte von ihnen ersetzt:$$\lambda_i\le\max_{i\in\{1,\dots,q\}}(\lambda _i)$$Dieses ist dann konstant und kann vor die Summe gezogen werden:$$\sum\limits_{i=1}^q|a_i|^2\cdot\lambda_i\le\max_{i\in\{1,\dots,q\}}(\lambda _i)\sum\limits_{i=1}^q|a_i|^2$$Da nach Voraussetzung \(\|x\|=1\) ist und die Basisvektoren orthonormal sind, gilt noch: $$\sum_{i=1}^q|a_i|^2=1$$sodass der maximale Eigenwert am Ende übrig bleibt.