Beweis Skalarprodukt Orthonormalbasis

Question

Aufgabe:

Sein V ein n-dimensionaler reeller Vektorraum mit n element N*

Zeigen Sie: Ist {b1,..,bn} eine Basis von V, dann gibt es ein Skalarprodukt <,> auf V, sodass {b1,...,bn} eine Orthonormalbasis bzgl. <,> ist.

Problem/Ansatz:

Ich bin leider etwas Verwirrt, da ich das Skalarprodukt <,> nicht ganz verstehe. Hat vielleicht jemand einen guten Ansatz oder Lösung?

LG

Comments

Ich bin leider etwas Verwirrt, da ich das Skalarprodukt <,> nicht ganz verstehe.

Was verstehst du nicht? Was Skalarprodukte sind? Was die Notation bedeutet? Was du machen sollst?

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Was ich machen soll da ich nichts mit dem Skalarprodukt anfangen kann

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Du sollst zeigen, dass es ein Skalarprodukt, also eine symmetrische positiv definite bilineare Abbildung

$$ V\times V \mapsto \mathbb R, (v,w) \mapsto \langle v,w\rangle $$

gibt, s.d. \( (b_1,...,b_n) \) eine Orthonormalbasis ist, d.h.

$$ \langle b_i , b_j \rangle = \begin{cases}1&\text{falls }i=j\\0&\text{falls }i\neq j\end{cases} $$

Answer 1

Ein solches Skalarprodukt ist

        \(\left\langle\sum\limits_{i=1}^n\alpha_ib_i,\sum\limits_{i=1}^n\beta_ib_i\right\rangle \coloneqq \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i\beta_i\).

Begründe, warum das tatsächlich ein Skalarprodukt ist.

Begründe warum \(\{b_1,\dots,b_n\}\) bezüglich dieses Skalarproduktes eine Orthonormalbasis ist.