Gleichung mit Sinus & Cosinus lösen?

Question

ich habe folgendes Problem:

Ich muss in Physik berechnen, wann eine Geschwindigkeit zum ersten Mal 0,3ms^-1 beträgt.

Gegeben ist ein Zeit-Weg-Diagramm.

Also habe ich die Funktion abgeleitet, um auf die Funktion der Geschwindigkeit zu kommen, und habe dann folgende Gleichung aufgtestellt:

0,30ms^-1 = 39,25*sin(7,85t)-cos(7,85t)

Ich komme aber beim Lösen der Gleichung nicht weiter.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Gruß

Answer 1

Für alle a, b, x mit a ≠ 0 gilt

        a·cos(x) + b·sin(x) = c·cos(x+φ)

mit

        c = sgn(a) · √(a² + b²)

und

        φ = arctan(-b/a).

Answer 2

Aloha :)

$$\left.0,3=39,25\cdot\sin(7,85t)-\cos(7,85t)\quad\right|\;\sin^2x+\cos^2x=1$$$$\left.0,3=39,25\cdot\sin(7,85t)-\sqrt{1-\sin^2(7,85t)}\quad\right|\;-39,25\cdot\sin(7,85t)$$$$\left.0,3-39,25\cdot\sin(7,85t)=\sqrt{1-\sin^2(7,85t)}\quad\right|\;(\dots)^2$$$$\left.0,3^2-2\cdot0,3\cdot39,25\cdot\sin(7,85t)+39,25^2\sin^2(7,85t)=1-\sin^2(7,85t)\quad\right.$$$$\left.0,09-23,55\sin(7,85t)+1540,5625\sin^2(7,85t)=1-\sin^2(7,85t)\quad\right.$$$$\left.1541,5625\sin^2(7,85t)-23,55\sin(7,85t)-0,91=0\quad\right.$$

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung liefert:$$\sin(7,85t)\approx-0,0178303\quad;\quad\sin(7,85t)\approx0,0331071$$Die erste Lösung fällt weg, weil durch das negative Vorzeichen \(t<0\) wäre.$$7,85t=\arcsin(0,0331071)\quad\Rightarrow\quad t\approx0,004218\,s=4,218\,ms$$