Ableitung Sinus Cosinus

Question

Aufgabe:

Ableitung von:

3 * (sin(x)-cos(x))² * (cos(x)+sin(x))

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Lösung ja, aber ich versteh nicht, was hier alles gerechnet wird.

Ich hab das so gerechnet:

6* (sin(x)-cos(x))* (cos(x)+sin(x)) + (-sin(x)+cos(x))

aber weiß nicht weiter bzw. es ist schon falsch..

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=3\left(\sin x-\cos x\right)^2\cdot(\cos x+\sin x)$$

1) Du kannst hier die (erweiterte) Produktregel verwenden:$$(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$$Das sieht dann so aus:$$f(x)=\underbrace{3(\sin x-\cos x)}_{=u}\cdot\underbrace{(\sin x-\cos x)}_{=v}\cdot\underbrace{(\sin x+\cos x)}_{=w}$$$$f'(x)=\underbrace{3(\cos x+\sin x)}_{=u'}\cdot\underbrace{(\sin x-\cos x)}_{=v}\cdot\underbrace{(\sin x+\cos x)}_{=w}$$$$\phantom{f'(x)}+\underbrace{3(\sin x-\cos x)}_{=u}\cdot\underbrace{(\cos x+\sin x)}_{=v'}\cdot\underbrace{(\sin x+\cos x)}_{=w}$$$$\phantom{f'(x)}+\underbrace{3(\sin x-\cos x)}_{=u}\cdot\underbrace{(\sin x-\cos x)}_{=v}\cdot\underbrace{(\cos x-\sin x)}_{=w'}$$$$f'(x)=6(\sin x+\cos x)^2(\sin x-\cos x)-3(\sin x-\cos x)^3$$

2) Du könntest auch Kettenregel und Produktregel kombinieren:$$f(x)=\underbrace{3\left(\sin x-\cos x\right)^2}_{=u}\cdot\underbrace{(\sin x+\cos x)}_{=v}$$$$f'(x)=\underbrace{\overbrace{6\left(\sin x-\cos x\right)}^{=\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(\cos x+\sin x)}^{=\text{innere Abl.}}}_{=u'}\cdot\underbrace{(\sin x+\cos x)}_{=v}+\underbrace{3\left(\sin x-\cos x\right)^2}_{=u}\cdot\underbrace{(\cos x-\sin x)}_{=v'}$$$$f'(x)=6(\sin x+\cos x)^2(\sin x-\cos x)-3(\sin x-\cos x)^3$$

Das Ergebnis kannst du eventuell mit Hilfe der Theoreme für die Winkelfunktionen noch etwas umschreiben, aber das ist nur Term-Gymnastik. Die eigentliche Ableitung haben wir durchgeführt.

Answer 2

3 * [sin(x)-cos(x)]^2 * [ (cos(x)+sin(x)]

sin(x)=a     cos(x)=b

3 * {[a-b]^2 * [ a+b]}= 3 * {[a-b] *[a-b] *[ a+b]}=3*{[a-b] *[a^2-b^2)]}=

p(a,b)=3*[a^3 -a*b^2-a^2*b+b^3]

p´(a,b)=3*[3a^2*a´-(a´*b^2+a*2b*b´)-(2a*a´*b+ a^2*b´)+3b^2*b´]

p´(a,b)=3*[3a^2*a´-a´*b^2-a*2b*b´-2a*a´*b- a^2*b´+3b^2*b´]

a=sin(x)  a´= cos(x)

b=cos(x)    b´=-sin(x)

p´(a,b)=3*[3*sin^2(x)*cos(x)-cos(x)*cos^2(x)-sin(x)*2*cos(x)*(-sin(x))-2*sin(x)*cos(x)*cos(x) - sin^2(x)*(-sin(x))+3*cos^2(x)*(-sin(x))]