Grenzwerte Sinus Cosinus

Question

Aufgabe:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (a+x)-\sin a}{x} \quad \text { und } \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (a+x)-\cos a}{x} . \)
Hinweis: Sie dürfen die Grenzwerte \( \left(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\right. \) und \( \left.\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x}=0\right) \) benutzen.

Answer 1

Aloha :)

Für \(x\to0\) konvergieren in beiden Brüchen sowohl die Zähler als auch die Nenner gegen Null. Daher dürfen wir die Regel von L'Hopsital anwenden und zur Grenzwertbestimmung Zähler und Nenner unabhängig voneinenader ableiten:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(a+x)-\sin a}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos(a+x)}{1}=\cos a$$$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos(a+x)-\cos a}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-\sin(a+x)}{1}=-\sin a$$

Wenn ihr die Regel von L'Hospial noch nicht hattet, kannst du die Additionstheoreme für Sinus- und Cosinus verwenden:$$\phantom=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(a+x)-\sin a}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\sin a\cos x+\cos a\sin x)-\sin a}{x}$$$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin a\cdot(\cos x-1)+\cos a\sin x}{x}=\sin a\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}+\cos a\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$$$$=\sin a\cdot 0+\cos a\cdot 1=\cos a$$

$$\phantom=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos(a+x)-\cos a}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\cos a\cos x-\sin a\sin x)-\cos a}{x}$$$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos a\cdot(\cos x-1)-\sin a\sin x}{x}=\cos a\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}-\sin a\cdot\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$$$$=\cos a\cdot 0-\sin a\cdot 1=-\sin a$$

Comments

Hallo Tschaka,

ich bin mir nicht sicher, ob deine Antwort am Problem vorbeigeht.

\(\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin (a+x)-\sin a}{x} \quad \text { und } \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (a+x)-\cos a}{x} \) drücken jeweils den Anstieg der Funktionen sin(x) und cos(x) an der Stelle a aus.

Solche Aufgaben stellt man in der Regel, BEVOR die Ableitungsregeln für die betreffenden Funktionen überhaupt bekannt sind.

Da könnte es problematisch sein, auf L'Hospital zu verweisen, wo man diese (möglicherweise noch nicht bekannten) Ableitungsregeln benötigt...

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Genau das dachte ich mir auch und habe deswegen auch die Betrachtung ohne L'Hospital angegeben.