Aufgabe:
Text erkannt:
a) Es sei \( \Omega \subset \mathbb{R}^{n} \) welches die Vorauss. des Satz von Gauß erfült und \( u, v: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie die sogenannte Greensche Formeln mit Hilfe des Satz von Gauß:
i) \( \int \limits_{\Omega} u \Delta v d x=-\int \limits_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v d x+\int \limits_{\partial \Omega} u \nabla_{n} v d \sigma \)
ii) \( \int \limits_{\Omega} u \Delta v d x=\int \limits_{\Omega} \Delta u v d x+\int \limits_{\partial \Omega} u \nabla_{n} v \cdot d \sigma-\int \limits_{\partial \Omega} v \nabla_{n} u \cdot d \sigma \)
b) Sei \( I:=[0, T] \subset \mathbb{R} \) ein beschränktes Intervall und \( \Omega \subset \mathbb{R}^{3} \) eine Menge, die die Vorauss. des Satz von Gauß erfültt. Sei \( u \in \mathcal{C}^{2}(I \times \bar{\Omega}) \) eine Lösung der partiellen Differentialgleichung
$$ \begin{aligned} \partial_{t} u-\Delta u+u^{3} &=0 \quad \text { in } I \times \Omega \\ n_{0} \cdot \nabla u &=0 \quad \text { auf } I \times \partial \Omega, \end{aligned} $$
mit Anfangsbedingung \( u(0)=u_{0} \) in \( \Omega, u_{0} \in \mathcal{C}(\bar{\Omega}) \). Definiere die Energie \( E: I \rightarrow \mathbb{R} \) als
$$ E(t)=\int \limits_{\Omega}|u(t, x)|^{2} d x \text { für alle } t \in I \text { . } $$
Zeigen Sie, dass die Energie mit der Zeit nicht zunimmt, d.h. \( E(t) \leq E(0) \) für alle \( t \geq 0 \). Hinweis: Nutzen Sie aus, dass \( \left(\partial_{t} u\right) u=\frac{1}{2} \partial_{t}\left(u^{2}\right) \) gilt.
Problem/Ansatz:
kann uns bitte jemand bei der Aufgabe b helfen? Den Aufgabenteil a haben wir gelöst, nur kommen wir mit dem zweiten Aufgabenteil nicht weiter.
Vielen Dank im Vorfeld!
Liebe Grüße
