Wie bestimme ich eine Abbildungsmatrix φA,B,B von φA bezüglich einer Basis?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die lineare Abbildung ℝ²->ℝ²

A=φ_A : x→A*x A=([1,2];[2,1])

Sei B=(v¹,v²) mit v¹=[1,-1] und v² =[1,1].

Zeigen Sie dass B eine Basis für ℝ² ist. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix φ_A,B,B von φ_A  bezüglich dieser Basis.

Problem/Ansatz:

Gezeigt, dass B eine Basis ist habe ich schon(v1 und v2 sind linear unabhängig). Wie man eine Abbildungsmatrix bestimmt weiß ich auch, allerdings weiß ich nicht von was zu was ich die Abbildungsmatrix bestimmen soll. Soll ich eine Abbildungsmatrix angeben, die von der abbildung zu Basis führt? Oder was ist mit den Indizes „A,B,B“ gemeint?

Answer 1

Oder was ist mit den Indizes „A,B,B“ gemeint?

φ_A ist die Abbildung , die mit Hilfe der Matrix A definiert ist.

B,B bedeutet: Abbildungsmatrix mit Bezug auf Basis B für Bilder und Urbilder.

Also Berechne φ_A(\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)) ; denn ( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) ist ja der Koordinatenvektor von v1 bzgl. der Basis B.

Da bekomme ich  \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \) und das ist nun das

Bild bzgl. der Standardbasis. Du musst also \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \) mit

Hilfe der Basis B darstellen. Das gibt \( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}=-0,5 \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} + 1,5 \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \)

Also sind -0,5 und 1,5 die Werte in der 1. Spalte der gesuchten Matrix.

Die sieht also so aus.   \( \begin{pmatrix} -0,5 & ? \\1,5 & ? \end{pmatrix} \)

Mit φ_A(\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \)) bekommst du die 2. Spalte.