Abbildungsmatrix bestimmen

Question

ich habe eine Frage bezüglich Abbildungsmatrix bezüglich einer Basis (b1,b2).
Sei die Abbildung phi(b1) = b2.
Wenn wir die Abbildungsmatrix A bekommen haben, kann man überprüfen ob phi(b1) = A * b1 = b2 ist? In mehreren Aufgaben habe ich es anders bekommen, d.h. phi(b1) = A * b1 ist ungleich phi(b1) = b2.

Ich würde mich freuen auf jede Hilfe, danke.

Vg

Answer 1

"Abbildungsmatrix bezüglich einer Basis (b1,b2).
Sei die Abbildung phi(b1) = b2"

"kann man überprüfen ob phi(b1) = A * b1 = b2 ist?"

Es genügt, wenn du schaust, ob die erste Spalte von A  der Vektor (0 ; 1) ist. Grund (0 ; 1) ist b2 in der Basis (b1,b2) .

Grund: In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bildvektoren der Basisvektoren.

Für b1 kannst du übrigens einfach (1 | 0 ) einsetzen und dann A * (1 | 0) rechnen. Da kommt automatisch die erste Spalte von A heraus.

Comments

vielen Dank für die Erklärung. Das heisst bei phi: x --> A x, nennt man A nicht die Abbildungsmatrix?

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Was willst du damit sagen?

Ist A nicht die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis B ?

Bitte Fragestellung präzisieren und bei jeder Matrix auch die Basis angeben.

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Ok. Sei b1 = (1 1) und b2 = (2 -1) und phi: b1 --> b2 , phi: b2 --> b1.

Dann ist die Abbildungsmatrix (A) ja

(0 1

 1 0)

da: phi (b1) = phi(1 1) = (2 -1) = 0 * (1 1) + 1 ( 2 -1)

und phi (b2) = phi (2 -1) = (1 1) = 1 * (1 1) + 0 (2 -1)

Meine Frage ist, bei phi: x --> A * x mit x beliebig (z.b b1 und b2) nennt man A die Abbildungsmatrix bezüglich b1 und b2?

Wenn nein ist die Frage geklärt.

Wenn ja, dann müsste phi(b1) = A * b1 = (2 -1) und phi(b2) = A * b2 = (1 1), wobei aber A * b1 = (1 1) und A * b2 = (-1 2) ist.

Ich behaupte dass die Antwort nein ist. Vielen Dank noch im Voraus!

Answer 2

  Ich fürchte bei dir geht es heftig durcheinander.  Es gibt so Aufgaben,  da sind die Bildvektoren einer Basis gegeben; und du sollst dann die Matrix erstellen.  So könnte in der Aufgabe natürlich verlangt sein

         ß  (  b1  )  =  b2       (  1  )

      Das ist dann aber keine typische Eigenschaft der Abbildung ß  , sondern es fließt natürlich immer noch die vorgegebene Basis  {  b1  ;  b2  }   ein.

    Weil wenn diese Basis vorgegeben ist, dann wird die allgemeinste Matrix A  diese Forderung ( 1 ) ja auch gar nicht erfüllen; in der Wahl der Bilder der beiden Basisvektoren bist du ja frei.

    Das war dran in der Vorlesung.