Basis bezüglich der Abbildungsmatrix?

Question

Aufgabe:

Sei f : ℝ³→ ℝ³ die Abbildung die eine Spiegelung an der Ebene mit Richtungsvektoren (3, 1, 1)^⊤ und (1, 0, 2)^⊤

durchführt.

Problem/Ansatz:

Den Normalnvektor davon habe ich ausgerechnet. Der wäre (2,-5,-1). Weiter komme ich aber nichr.

Die Lösung sagt folgendes B=

1	0	0
0	1	0
0	0	-1

Aber wie kommt man den drauf? Also wahrscheinlich mit dem Gram Schmidt verfahren? Aber wirklich weiter komme ich da nicht.

Kann mir da jemand bitte helfen?

Answer 1

Bei der Spiegelung an einer Ebene werden die Vektoren in der Ebene in sich und ein Normalenvektor auf sein Negatives abgebildet. Wenn du also als Basis die drei Vektoren wie oben wählst, ist die Darstellungsmatrix der Spiegelung bezüglich dieser Basis die von dir angegebene.