Abbildungsmatrix bezüglich gewisser Basen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Eine lineare Abbildung \( f: V \rightarrow W \) ist gegeben durch ihre Matrix bezüglich gewisser Basen \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \) in \( V \) bzw. \( W \) :
\( M_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie den Rang von \( f \).
b) Finden Sie Basen im Kern und Bild von \( f \); ergänzen Sie sie zu den Basen in \( V \) bzw. \( W \).
c) Bestimmen Sie, ob \( f \) injektiv bzw. surjektiv ist.
d) Finden Sie ein Paar von Basen \( \mathcal{B}^{\prime}, \mathcal{C}^{\prime} \) in \( V \) bzw. \( W \), so dass
\( M_{\mathcal{C}^{\prime}}^{\mathcal{B}^{\prime}}(f)=\left(\begin{array}{cc} 1_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz: Erst einmal entschuldigung für die schlechte Bildqualität, leider hatte ich spontan nichts besseres zur Verfügung.

Ich habe leider keinen Ansatz um diese Aufgabe zu berechnen, da mir nichr klar ist was man hier überhaupt erreichen möchte. a) könnte ich mir vorstellen ist mit dem Dimensionssatz lösbar, für b c und d fehlt mir jedoch die Idee.

Answer 1

a) Der Rang von f ist gleich dem Rang der Matrix. Der ist 2,

weil die Matrix zwei lin. unabhängige Zeilenvektoren hat.

b) Da man über V und W außer der Dimension nicht viel weiß,

identifiziere ich die mal mit ℝ⁵ und ℝ² .

Dann bilden z.B. die ersten beiden Spalten der Matrix

eine Basis von Bild(f), da die Spaltenvektoren lin.

unabhängig sind.

Also hat Kern(f) die Dimension 3 und eine Basis findet sich

durch Umformen der Matrix auf Dreiecksform:

\( \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right)  \) 

zweite Zeile minus 2 mal 1. Zeile gibt

\( \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & -3 & -3 & 5 \end{array}\right)  \)

oder auch

\( \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & \frac{5}{3} \end{array}\right)  \)

Es sind also \(  x_3, x_4, x_5   \) frei wählbar, etwa r,s,t und dann hat man

x₂ =3r+3s-5t/3 und damit x1= 3r+3s-5t/3-r-s+2t=2r+2s+t/3

Also sehen die Vektoren im Kern so aus:

\( \left(\begin{array}{ccccc} 2r+2s+\frac{t}{3} \\ 3r+3s+\frac{5t}{3} \\ r\\s\\t \end{array}\right)  =r\left(\begin{array}{ccccc} 2 \\3 \\ 1\\0\\0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{ccccc} 2 \\ 3 \\ 0\\1\\0 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ccccc} \frac{1}{3} \\ \frac{5t}{3} \\ 0\\0\\1 \end{array}\right)\)

Eine Basis wäre dann etwa

\( \left(\begin{array}{ccccc} 2 \\3 \\ 1\\0\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccc} 2 \\ 3 \\ 0\\1\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccc} 1 \\ 5 \\ 0\\0\\3 \end{array}\right)\)

Comments

Danke dir für die Antwort, aber sag mal, woher weiß ich den das ich die Spaltenvektoren als Basisvektoren für Im f nehmen kann ? Nur durch die lineare Unabhängigkeit ? Könnte ich dann auch andere nehmen wenn sie lin. unabhängig sind ?

Und warum lässt sich denn der Rang von f über die Zeilenvektoren bestimmen?

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Du kannst den Rang von f auch über die Spaltenvektoren bestimmen. Es gilt ja Zeilenrang=Spaltenrang.

Im allgemeinen bringst du die Matrix auf Zeilenstufenform und kannst anhand der Pivotelemente das Bild der Matrix direkt an der Ausgangsmatrix ablesen.

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ah okay. Und die Geschichte mit den Basisvektoren ? Wie kann ich diese bestimmen aus der Abbildungsmatrix heraus ?

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Für die Basisvektoren des Kerns ist ja der Rechenweg schon da. Für die Basis des Bildes nimmst die die Vektoren der Ausgangsmatrix, die in der Zeilenstufenform die Pivotelemente sind.

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Alles klaro. Also im Endeffekt dreht sich alles um den Dimensionssatz bei den Abbildungsmatrizen ? Hab das wohl echt ein wenig verpasst in den Vorlesungen, aber jetzt wird einiges klarer. Danke euch für die Hilfe

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Etwas was mir gerade noch unklar ist. was genau ist mit der Aufgabe d gemeint ? Was solll ich da eurer Meinung nach erledigen ?

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schau mal nach Äquivalenten Matrizen im Netz, da sollten Beispiele zu solchen Aufgaben kommen