Zeigen Sie, dass es Basen B von V und C von W gibt, so dass die Abbildungsmatrix von f bezüglich V und W die Gestalt

Question

Sei K ein Körper und f : V → W eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen K - Vektorräumen. Zeigen Sie, dass es Basen B von V und C von W gibt, so dass die Abbildungsmatrix von f bezüglich V und W die Gestalt

D_CB(f) = \( \begin{pmatrix} 0 & Er \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

mit r = Rang (f) hat.

Hinweis: Betrachten Sie den Beweis des Dimensionssatzes für lineare Abbildungen.

Answer 1

Seien dim(V)=n und dim(W)=m und rang(f)=r

Wähle eine Basis von Kern(f). Die hat nach dem Dimensionssatz

k = n - r Elemente .  Ergänze diese durch r lin. unabhängige Vektoren

zu einer Basis von V.

So entsteht eine Basis B = ( v1, … , vk, u1,..., ur )  von V

Die Bilder f(u1), … , f(ur) sind r linear unabhängige Vektoren von W.

Erganze diese durch w₁,...,w_m-r  Vektoren zu einer Basis

C = ( f(u₁), … , f(u_r), w₁,...,w_m-r   )  von W.

Dann gilt für i ∈ {1,...,k}   f(v_i)=0 , also sind die ersten k Spalten

von D_CB(f)  alles Nullspalten.  Und die folgenden r Spalten enthalten

die Koeffizienten , mit denen man die Bilder von  u1,..., ur mit

der Matrix C darstellen kann, also für  i ∈ {1,...,r}  muss

f(u_i) durch C dargestellt werden. Das gibt an der i-ten Stelle eine

1 und sonst lauter 0en, also entstehen genau die durch (m-r) 0en

verlängerten Spalten von E_r .                    q.e.d.