Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung bezüglich Basen

Question

sei $$ V = \mathbb{R}[x]_\leq2$$ und $$ W= Mat2x2(\mathbb{R}) $$ und $$ X = \begin{pmatrix}  1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in W $$ Zu bestimmen ist die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung

$$ f: V \to W, f(x)->f(X) $$ bezüglich der Basen $$ B = (1,x,x^2) $$ von V und $$ C = (E11, E12, E21, E22) $$ von W, wobei E11, E12, E21, E22 die Standardbasen sind.

Wie geht man hier vor? Habe zunächst versucht die Bilder der Basisvektoren zu ermitteln, gelange aber zu keinem Ergebnis. 

Answer 1

\(V\) besteht aus Polynomen der Form \(f(x)=a+bx+cx^2\) und \(W\) aus \(2\times2\)-Matrizen. Die Abbildung \(V\to W, f(x)\mapsto f(X)\) nennen wir nicht auch noch \(f\), sondern wir waehlen dafuer einen anderen Buchstaben, sagen wir \(\varphi\). Dann haben wir $$\varphi(a+bx+cx^2)=a\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^2.$$ Jetzt kannst Du anfangen, \(\varphi(1), \varphi(x)\) und \(\varphi(x^2)\) auszurechnen.