Basen A und B des ℝ^5 und ℝ^4 bestimmen mithilfe einer Abbildungsmatrix

Question

Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

$$\text{Es sei die } \mathbb{R} - \text{ lineare Abbildung } f: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \text{ durch die folgende Abbildungsmatrix gegeben: }$$ $$M_{E_{4}}^{E_{5}}(f)=\left(\begin{array}{rrrrr} 2 & 2 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & -2 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $$\text{wobei } E_{5} \text{ und } E_{4} \text{ die Standardbasen des } \mathbb{R}^{5} \text{ und } \mathbb{R}^{4} \text{ sind.} \text{ Bestimmen Sie zwei Basen } \mathcal{A} \text{ und } \mathcal{B} \text{ des } \mathbb{R}^{5} \text{ bzw. } \mathbb{R}^{4}, \text{ für die gilt: }$$ $$M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}(f)=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & & \cdots & & 0 \\ 0 & \ddots & & & \\ & & 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 & & \\ & & & & \ddots & 0 \\ 0 & & \cdots & & 0 & 0 \end{array}\right)$$

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen oder mir wenigstens einen Ansatz geben (oder eine Erklärung)? Ich bedanke mich schon mal im Voraus für eure Hilfe! Danke.

Answer 1

Da brauchst du wohl erst mal Basen von Bild(f) und Kern(f).

Da bekomme ich für Kern(f)

$$\begin{pmatrix} 3\\-1\\0\\1\\0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0\\2 \end{pmatrix}$$

Somit hat das Bild die dim=3 und

weil die ersten 3 Spalten der Matrix lin. unabh.

sind, bilden sie eine Basis von Bild(f).

Ergänze diese ( z.B. durch (1;0;0;0)^T ) zu einer Basis von R^4 und du hast schon mal

die Basis B.

Und wenn du jetzt für die Basisvektoren von A erst mal

je ein Urbild von der ersten 3 Basisvektoren von B nimmst

und für die restlichen beiden die Basis vom Kern,

dann müsste es passen.

Comments

Hallo, vielen Dank für deine Antwort. Ich habe für den Kern allerdings raus:

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2}  \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$$

bzw.

$$\text{ker =} \left\{\begin{array}{c} x_{4} \times\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+x_{5} \times\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \end{array}\right\}$$

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Ja, das ist auch richtig.

Du hast halt den einen Basisvektor nur halb so lang.

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Alles klar. Danke dir :) Ist es wichtig, dass man zu erst B und dann A berechnet?