a) Der Rang von f ist gleich dem Rang der Matrix. Der ist 2,
weil die Matrix zwei lin. unabhängige Zeilenvektoren hat.
b) Da man über V und W außer der Dimension nicht viel weiß,
identifiziere ich die mal mit ℝ5 und ℝ2 .
Dann bilden z.B. die ersten beiden Spalten der Matrix
eine Basis von Bild(f), da die Spaltenvektoren lin.
unabhängig sind.
Also hat Kern(f) die Dimension 3 und eine Basis findet sich
durch Umformen der Matrix auf Dreiecksform:
\( \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right) \)
zweite Zeile minus 2 mal 1. Zeile gibt
\( \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & -3 & -3 & 5 \end{array}\right) \)
oder auch
\( \left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 & \frac{5}{3} \end{array}\right) \)
Es sind also \( x_3, x_4, x_5 \) frei wählbar, etwa r,s,t und dann hat man
x2 =3r+3s-5t/3 und damit x1= 3r+3s-5t/3-r-s+2t=2r+2s+t/3
Also sehen die Vektoren im Kern so aus:
\( \left(\begin{array}{ccccc} 2r+2s+\frac{t}{3} \\ 3r+3s+\frac{5t}{3} \\ r\\s\\t \end{array}\right) =r\left(\begin{array}{ccccc} 2 \\3 \\ 1\\0\\0 \end{array}\right)+s\left(\begin{array}{ccccc} 2 \\ 3 \\ 0\\1\\0 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{ccccc} \frac{1}{3} \\ \frac{5t}{3} \\ 0\\0\\1 \end{array}\right)\)
Eine Basis wäre dann etwa
\( \left(\begin{array}{ccccc} 2 \\3 \\ 1\\0\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccc} 2 \\ 3 \\ 0\\1\\0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccccc} 1 \\ 5 \\ 0\\0\\3 \end{array}\right)\)
