Question

Bestimmen Sie die reelle Fourierreihe der \(\pi\)-periodischen Funktion
\( f(x) = \begin{cases} \frac{2}{\pi} x & \text{für } x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \\ \sin(x) & \text{für } x \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right) \end{cases} \)
und begründen Sie, ob die Konvergenz der Reihe gleichmäßig ist.

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Und wo ist das Problem? Zum großen Teil ist das nur Einsetzen in eine Formel.

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\(f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))\)

Die Reihe habe ich gefunden, aber ich weiß nicht, wie ich ihre Konvergenz überprüfen soll.

Answer 1

Gut. Die \(a_n,b_n\) hast Du vielleicht schon ausgerechnet.

Zur Konvergenz: Die kann man sich nicht so einfach selbst überlegen. Man weiß aber: Wenn \(f\) auf dem Intervall stückweise differenzierbar ist, konvergiert die F-Reihe auf jedem abgeschlossenen Intervall, das keine Unstetigkeitsstellen enthält, gleichmäßig.

Das ist eine Version eines Satzes, der ziemlich sicher in Deinen Vorlesungsunterlagen steht. Der soll hier angewandt werden.

Heißt: Prüfe, ob \(f\) stetig ist auf einem geeigneten Intervall (scheint ja keins angegeben zu sein).

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Vielen Dank!