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Die Aufgabe lautet:

Wir betrachten die Funktion f~ : (π,π)R \tilde{f}:(-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R} definiert durch f~(t) : =0 \tilde{f}(t):=0 für π<t<0 -\pi<t<0 und f~(t) : =1 \tilde{f}(t):=1 für 0t<π 0 \leq t<\pi mit 2π 2 \pi -periodischer Fortsetzung f f . Die Funktion f f besitzt die komplexe Fourierreihe
f(t)=12k=iπ(2n1)ei(2n1)t. f^{*}(t)=\frac{1}{2}-\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{i}}{\pi(2 n-1)} e^{\mathrm{i}(2 n-1) t} .

Berechnen Sie die komplexe Fourierreihe der Faltung ff f * f
a) direkt,
b) mit dem Faltungssatz.


a) Konnte ich meines Erachtens nach sehr einfach lösen durch Aufteilen in zwei Integrale einmal von -pi bi 0 und 0 bis pi wobei das erste dann Null wurde. Am Ende hatte ich pi raus.


Bei b) komme ich aber nicht weiter ich habe bisher nur (12k=iπ(2n1)ei(2n1)t) ( \frac{1}{2}-\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{i}}{\pi(2 n-1)} e^{\mathrm{i}(2 n-1) t} ) (12k=iπ(2n1)ei(2n1)t) ( \frac{1}{2}-\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{i}}{\pi(2 n-1)} e^{\mathrm{i}(2 n-1) t} )

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Was hast Du denn als Faltung berechnet?

Wie lautet der Faltungssatz?


a) fff * f direkt
(ff)(t)=ππf~(τ)f~(tτ)dτ,=0πf~(τ)f~(tτ)dτ,daf~(t)=0, fu¨π<t<0=0π11dτ=π\begin{aligned}(f * f)(t) & =\int_{-\pi}^\pi \tilde{f}(\tau) \tilde{f}(t-\tau) d \tau, \\ & =\int_0^\pi \tilde{f}(\tau) \tilde{f}(t-\tau) d \tau, da \tilde{f}(t)=0, \text { für }-\pi<t<0 \\ & =\int_0^\pi 1 \cdot 1 d \tau=\pi\end{aligned}



Beim Faltungssatz habe ich F{ff}=F{f}F{f}F \{f * f\}= F \{f\} \cdot F \{f\} verwendet wobei f in diesem Fall f(t)=12n=iπ(2n1)ei(2n1)tf^*(t)=\frac{1}{2}-\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{i}{\pi(2 n-1)} e^{i(2 n-1) t} ist

Du hast die Abhängigkeit von tτt-\tau nicht richtig berücksichtigt. Wenn zum Beispiel t=0.5πt=0.5\pi ist, dann lst f(0.5πτ)=1f(0.5 \pi-\tau)=1 für  τ[0,0.5π]\tau\in [0,0.5 \pi]...

Ich hab mir sowas schon gedacht das kam mir auch zu einfach vor. Dann fehlt mir der Ansatz für beides.

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Ich versuche mich mal an dem ersten Teil:

ff(s)=ππf(st)f(t)  dt=0πf(st)1  dt=sπsf(r)  drf*f(s)=\int_{-\pi}^{\pi}f(s-t)f(t)\;dt=\int_{0}^{\pi}f(s-t) \cdot 1 \;dt=\int_{s-\pi}^{s}f(r)\;dr
Jetzt muss man eine Fallunterscheidung machen (vgl. mit einer Skizze des Graphen von f):

s[π,0] : ff(s)=sππ1  dr=ss \in [-\pi,0]:\quad f*f(s)=\int_{s-\pi}^{-\pi} 1 \;dr=-s

s[0,π] : ff(s)=0s1  dr=ss \in [0,\pi]:\quad f*f(s)=\int_{0}^{s} 1 \;dr=s

Und die Faltung ist natürlich periodisch.

Jetzt kannst Du von fff*f die Fourier-Reihe berechnen.

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