Komplexe Fourierreihe der Faltung mit dem Faltungssatz berechnen

Question

Die Aufgabe lautet:

Wir betrachten die Funktion \( \tilde{f}:(-\pi, \pi) \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch \( \tilde{f}(t):=0 \) für \( -\pi<t<0 \) und \( \tilde{f}(t):=1 \) für \( 0 \leq t<\pi \) mit \( 2 \pi \)-periodischer Fortsetzung \( f \). Die Funktion \( f \) besitzt die komplexe Fourierreihe
\( f^{*}(t)=\frac{1}{2}-\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{i}}{\pi(2 n-1)} e^{\mathrm{i}(2 n-1) t} . \)

Berechnen Sie die komplexe Fourierreihe der Faltung \( f * f \)
a) direkt,
b) mit dem Faltungssatz.

a) Konnte ich meines Erachtens nach sehr einfach lösen durch Aufteilen in zwei Integrale einmal von -pi bi 0 und 0 bis pi wobei das erste dann Null wurde. Am Ende hatte ich pi raus.

Bei b) komme ich aber nicht weiter ich habe bisher nur \( ( \frac{1}{2}-\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{i}}{\pi(2 n-1)} e^{\mathrm{i}(2 n-1) t}  ) \) * \( ( \frac{1}{2}-\sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{i}}{\pi(2 n-1)} e^{\mathrm{i}(2 n-1) t}  ) \)

Comments

Was hast Du denn als Faltung berechnet?

Wie lautet der Faltungssatz?

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a) \(f * f\) direkt
\(\begin{aligned}(f * f)(t) & =\int_{-\pi}^\pi \tilde{f}(\tau) \tilde{f}(t-\tau) d \tau, \\ & =\int_0^\pi \tilde{f}(\tau) \tilde{f}(t-\tau) d \tau,     da   \tilde{f}(t)=0, \text { für }-\pi<t<0 \\ & =\int_0^\pi 1 \cdot 1 d \tau=\pi\end{aligned}\)

Beim Faltungssatz habe ich \(F \{f * f\}= F \{f\} \cdot F \{f\}\) verwendet wobei f in diesem Fall \(f^*(t)=\frac{1}{2}-\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{i}{\pi(2 n-1)} e^{i(2 n-1) t}\) ist

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Du hast die Abhängigkeit von \(t-\tau\) nicht richtig berücksichtigt. Wenn zum Beispiel \(t=0.5\pi\) ist, dann lst \(f(0.5 \pi-\tau)=1\) für  \(\tau\in [0,0.5 \pi]\)...

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Ich hab mir sowas schon gedacht das kam mir auch zu einfach vor. Dann fehlt mir der Ansatz für beides.

Answer 1

Ich versuche mich mal an dem ersten Teil:

$$f*f(s)=\int_{-\pi}^{\pi}f(s-t)f(t)\;dt=\int_{0}^{\pi}f(s-t) \cdot 1 \;dt=\int_{s-\pi}^{s}f(r)\;dr$$
Jetzt muss man eine Fallunterscheidung machen (vgl. mit einer Skizze des Graphen von f):

$$s \in [-\pi,0]:\quad f*f(s)=\int_{s-\pi}^{-\pi} 1 \;dr=-s$$

$$s \in [0,\pi]:\quad f*f(s)=\int_{0}^{s} 1 \;dr=s$$

Und die Faltung ist natürlich periodisch.

Jetzt kannst Du von \(f*f\) die Fourier-Reihe berechnen.