Beweisen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist

Question

Aufgabe:

In der Menge M := N2 = {(n,m) ; n,m ∈ N} sei die Relation ∼ durch (n, m) ∼ (k, l) :⇔ n + l = k + m
definiert. Beweisen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist. Sie dürfen dabei die folgende Kür- zungsregel benutzen:
∀a,b,c∈N: a+c=b+c⇒a=b.

Problem/Ansatz:

Ich komme einfach nicht weiter..

Answer 1

Seien \(a,b,c,d,e,f\in\mathbb{N}\) mit \((a,b)\sim (c,d)\) und \((c,d)\sim (e,f)\).

Reflexivität. Es gilt \(a+b = b+a\) laut Kommutativgesetz, also ist \((a,b)\sim(a,b)\).

Symmetrie. Wegen \((a,b)\sim (c,d)\) gilt \(a+d = b+c\). Mit dem Kommutativgesetz und Vertauschung der beiden Seiten der Gleichung folgt \(c+b = d+a\) und somit \((c,d)\sim(a,b)\).

Transitivität. Wegen \((a,b)\sim (c,d)\) gilt \(a+d = b+c\). Wegen \((c,d)\sim (e,f)\) gilt \(c+f = d+e\). Addition der beiden Gleichungen liefert \(a+c+d+f = b+c+d+e\) und somit \(a+f=b+e\) wegen Assosziativgesetz, Kommutativgesetz und Kürzungsregel. Also gilt \((a,b)\sim(e,f)\).