Zeigen der Unabhängigkeit der Äquivalenzklasse vom Repräsentanten

Question

Aufgabe:

Sei M eine nichtleere Menge und R ⊂ M×M eine Äquivalenzrelation.

Zeigen Sie die Unabhängigkeit der Äquivalenzklasse vom Repräsentanten, d.h. für a, b ∈ M mit (a, b)∈ R gilt [a] = [b].

Problem/Ansatz:

Was meint man mit " Unabhängigkeit der Äquivalenzklasse vom Repräsentanten"? Und wie soll man [a] = [b] zeigen?

Answer 1

Was meint man mit " Unabhängigkeit der Äquivalenzklasse vom Repräsentanten"?

Nimm etwa die Äquivalenzrelation auf der Menge aller Geraden
im zweidimensionalen Koordinatensysteme:

g ~ h <=>   g parallel zu h .

Dann besteht eine Äquivalenzklasse aus allen Geraden, die zueinander parallel sind.

Da gibt es etwa die Klasse derjenigen, die parallel zur x-Achse sind.

Darin liegt z.B. auch die Gerade mit der Gleichung  y=3.

Statt: "diejenigen, die parallel zur x-Achse sind." könntest du

aber auch sagen "diejenigen, die parallel zur Geraden mit y=3 sind."

Einmal ist es eben auf den Repräsentanten x-Achse bezogen und einmal auf

die Gerade mit y=3 .

Und wie soll man [a] = [b] zeigen?

Wie immer bei Mengengleichheit:

Sei x∈[a]  <==>  x∈[b]

Etwa so:  Sei ~ die Äquivalenzrelation und  a~b .

     Dann gilt    x∈[a]

              <=>   x~a

Nach Vor. aber auch   a~b .        
Wegen der Transitivität von ~ also auch  x~b

  <=>   x∈[b]