Äquivalenzrelation & Äquivalenzklasse a^n = b^m

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Relation definiert durch

$$a \sim b: \Longleftrightarrow \exists n, m \in \mathbb{N} \backslash\{0\}: a^{n}=b^{m}$$ für $$a, b \in \mathbb{N}$$

(a) Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf N definiert.

(b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklasse von 8.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz wie man das ganze angeht, bisher hab ich nur Äquivalenzrelationen mit Teilbarkeit gelöst.

Mein Gedanke:

(a) reflexiv: a^n = a^m ist für n=m wahr, also a~a

symmetrisch: a~b gilt, zu zeigen: b~a
                      a^n=b^m <=>  meine idee hier war mit a^(m-n) zu multiplizieren, komme hier aber auch nicht weiter

transitiv: a~b und b~c. zu zeigen: a~c

              a~b: Es existieren m,n aus N\{0} sodass a^n=b^m
              b~c: Es existieren m,n aus N\{0} sodass b^n=c^m

(b): -

Answer 1

Hallo,

ich nehme mal an a und b sollen Element der natürlichen Zahlen sein.

reflexiv hast du richtig gezeigt.

symmetrisch: wenn du a und b tauschst, dann tausche auch n und m

Transitiv, weil

a~b, b~c bedeutet

a^n =b^m und b^k = c^l

linke Gleichung hoch k nehmen und Potenzen nach Potenzgesetz umsortieren:

(a^n ) ^k=(b^k )^m  für b^k -> c^l einsetzen

a^{n*k} =c^{l*m}

-> a~ c

b) betrachte 8^n =b^m

die ersten Zahlen kann man per Hand sich überlegen

b=1 geht nicht

8^1 =2^3

b=3 geht nicht

8^2 =4^3

b=5 geht nicht

... b=8 geht , als größere Zahlen bleiben nur noch

8-ter Potenzen, also

8 ~ 2,4,8^m

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Zur symmetrie: 
hier muss ich ja irgendwie von a^n=b^m zu b^n=a^m kommen

verstehe nicht ganz was du mit "tausche auch n und m wenn du a und b tauscht" meinst bzw. weshalb das gilt

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hier muss ich ja irgendwie von an=bm zu bn=am kommen

Das ist nicht ganz richtig.

Du musst von

a^n =b^m zu

b^{n'} = a^{m'}

kommen. Es geht nur um die Existenz der Exponenten!

Das ist erfüllt, wenn du n'=m wählst und m'=n