Neutrales Element e einer kommutativen Gruppe bestimmen

Question

Aufgabe:

Das neutrale Element e in einer kommutativen Gruppe bestimmen.

Die Verknüpfung lautet 2(x+y-1)-xy

Ich ersetze also nun y mit e und setze gleich x.

Das ergibt: 2(x+e-1)-xe = x

<==> 2x+2e-2-xe = x                          (Klammer ausmultiplizieren)

<==> x+2e-2-xe = 0                            (minus x)

<==> 1(x-2) +2e-xe = 0                       (1 ausklammern bei x und -2)

<==> 1(x-2) + -e(-2+x) = 0                  (-e ausklammern bei 2e und -xe)

<==> (x-2) - e(x-2) = 0

Problem/Ansatz:

Ich habe leider irgendwie ein Brett vorm Kopf. Wie komme ich auf den nächsten Schritt?

Ich weiß zwar, dass dieser wie folgt lautet:

<==> (x-2) * (1-e) = 0

(woraus sich 1 als neutrales Element ergibt)

allerdings verstehe ich nicht wie aus e(x-2) auf einmal (1-e) wird, und warum das - zu einem * wird.

Wäre über eine Erklärung sehr dankbar :)

Answer 1

1 ausklammern bei x und -2

ROTFLOL

(x-2) - e(x-2) = 0

Addiere e(x-2) und teile dann durch (x-2).

Kümmere dich danach separat um die Probleme, die dadurch entstanden sind, dass du durch (x-2) geteilt hast.

Comments

Danke dir, finde ich über diese Art sogar viel einfacher :)

Bei dieser Aufgabe ist der Vorteil, dass in beiden Klammern (x-2) steht. Kann es denn Fälle geben, bei denen die Werte unterschiedlich sind und wo sich nicht einfach addieren/subtrahieren und danach dividieren lässt?

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Deine Gleichung hat die Form

        a - e·b = 0

und du willst nach e auflösen. Dass kann man immer so machen, dass man e·b addiert und dann durch b teilt¹.

Ob dann wie in deinem Fall e = 1 herauskommt, hängt von a und b ab.

In deinem Fall ist a = (x-2) und b = (x-2). Wäre zum Beispiel stattdessen b = x, dann würdest du e = 1 - 2/x bekommen. Für die Neutralität wäre dass ein ganz schlechtes Zeichen, weil es laut Gruppenaxiomen ein Element geben muss, dass für alle x der Gruppe neutral ist, und nicht nur für ein konkretes x. Das x darf in der endgültigen Lösung also nicht mehr vorkommen.

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¹ Natürlich nur, wenn b ≠ 0 ist.

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Super! Hast mir echt weitergeholfen. Vielen lieben Dank und schönen Abend :)