Gruppe ohne neutrales Element

Question

gibt es mathematische Strukturen, welche eine Verknüpfung haben und assoziativ sind, gleichzeitig inverse Elemente jedoch kein neutrales Element besitzen?

Mein Problem hierbei ist, dass in der Definition von inversen Elementen die Existenz von neutralen Elementen vorausgesetzt werden.

Answer 1

dass in der Definition von inversen Elementen die Existenz von neutralen Elementen vorausgesetzt werden.

Das kann man reaprieren: \(a\) ist invers zu \(b\), wenn für alle \(c\) gilt, dass

        \((c+a)+b = c\)

ist. Wegen Assoziativität ist dann auch

        \(c+(a+b) = c\)

für jedes \(c\). Das heißt \(a+b\) ist neutral.

Comments

Das heißt \(a+b\) ist neutral.
Zunächst einmal nur rechtsneutral.

Deine Inversen-Definition führt dazu, dass in der assoziativen Verknüpfung • mit x•y = x
jedes Element zu jedem anderen invers ist.

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Zunächst einmal nur rechtsneutral.

Das ist hinreichend um auszuschließen dass es eine wie in der Frage geforderte Struktur gibt.

Deine Inversen-Definition führt dazu, dass in der assoziativen Verknüpfung • mit x•y = x
jedes Element zu jedem anderen invers ist.

Ja, dazu führt sie. Das ist aber auch bei der klassischen Definition von inversen Elementen so.