es geht um folgende Eigenschaft, die hier bewiesen wird.
$$ \text{Es seien }(G,*)\text{ und }(H,\circ)\text{ Gruppen. und es sei }\varphi:G\rightarrow H\text{ ein Gruppenhomomorphismus. Dann gilt }\\\varphi(e_G)=e_H $$
Jetzt der Beweis (nicht meiner)
Beweis.
$$ \text{Um die erste Gleichung zu erhalten, vermerken wir zunächst für das Bild}\\ \text{des neutralen Elements von G:}\\\varphi(e_G)=\varphi(e_G*e_G)=\varphi(e_G)\circ\varphi(e_G).\\ \text{Multiplikation dieser Gleichung mit }\varphi(e_G)^{-1}\text{ ergibt }e_H=\varphi(e_G). $$
Warum?!
Der restliche Beweis ist widerum klar, nur finde ich diesen Teil des Beweises aus meiner Sicht ziemlich an den Haaren herbei gezogen, da mir nicht klar ist, warum mit einer Multiplikation mit dem Inversen von φ(e_G) jetzt ausgerechnet e_H ergeben soll.
Restlicher Teil vom Beweis.
$$ \varphi(g^{-1})\circ\varphi(g)=\varphi(g^{-1}*g)=\varphi(e_G)=e_H $$
Ich bitte um Aufklärung.
Gruß
hallo97