Determinante schiefsymmetrischer Matrizen ist größer oder gleich 0.

Question

Aufgabe:

Die Determinante schiefsymmetrischer Matrizen ist immer größer oder gleich 0.

Problem/Ansatz:

… Für gerade Matrizen hab ichs raus. Mir fehlen die ungeraden. Ich hab das für einige größen raus (man schreibt sie einfach in der Form (...)^2) und ich kann mir denken, dass das etwas mit einer Umformung zu tun hat, weiter bin ich aber überfragt.

Würde mich über etwas hilfe freun :(

Answer 1

Hallo :-)

Betrachte einfach mal diese Gleichungskette: Zunächst gilt \(A=-A^T\). Dann ist

$$ \det(A)=\det(-A^T)=(-1)^n\cdot \det(A^T)=(-1)^n\cdot \det(A). $$

Frage an dich: Falls \(n\) ungerade ist: Für welche Werte von \(\det(A)\) ist obige Gleichhung nur dann erfüllt?

Comments

Ich hab die frage genau falsch gestellt... für gerade matrizen ist das glaube wesentlich schwerer. Bei n ungerade ist die Determinante immer 0.

---

Was hast du denn bisher über schiefsymmetrische Matrizen kennengelernt?

---

Ergänzung: Schiefsymmetrische Matrizen haben entweder Eigenwerte gleich Null oder ihr Realteil verschwindet. (Klar? Ansonsten beweisen!)

Die Eigenwerte treten immer in komplex konjugierten Paaren auf. (Klar? Ansonsten beweisen!).

Die Determinante einer Matrix, kann als Produkt seiner Eigenwerte geschrieben werden.

Ist nun \(n\) gerade, so hat auch das Produkt eine gerade Anzahl an Faktoren aus Eigenwerten. Diese kommen in komplexkonjugierten Paaren vor. Es gilt außerdem für alle komplexen Zahlen \(z\in \mathbb{C}\) die Eigenschaft \(z\cdot \overline{z}=|z|^2\geq 0\).

Hilft dir das weiter?