Welche der folgenden Aussagen ist für alle invertierbaren Matrizen A und ihre transponierte korrekt?

Question

Welche der folgenden Aussageb ist für alle invertierbaren Matrizen A und ihre transponierte korrekt?

1)A*A^t ist invertierbar

2)A*A^t ist symmetrisch

3) det(A*A^t)=1

4)det(A*A^t)>0

5)det(A+A^t)=2*detA

Meine Meinung alle sind richtig. Aber wie immer bin nicht sicher.

Grüße

Mel

Answer 1

Ich denke 1,2 und 4 stimmen aber 3 und 5 nicht. Versuche mich zu überzeugen warum 3 oder 5 stimmen sollten.

Comments

Also zu 5) wenn ich die matrix

1	2
3	4

 habe die determinante davor ist -2. Die det von ihre transponierte ist auch -2. wenn ich die addiere dann kriege ich -4. also 2*detA :)

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5) det(A+A^t)

det(A + B) ist nicht det(A) + det(B) oder?

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Also meine meinung schon.

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ich glaube auch dass das geht also det(A+B)=det(A)+det(B)

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Also 

DET(A + A) = DET(2 * A) = 2 * DET(A) ??

Ich erinnere mich da schwach an eine andere Regel.

DET(2 * A) = 2^n * DET(A)

Aber ich bin mit solchen Rechenregeln auch etwas eingerostet.

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und ich denke jetzt dass 3 auch falsch ist.

die matrix die ich davor gegeben habe die det davon war -2 und die det von ihre transponierte war auch -2 also 4 ungleich 1

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so einen regel habe ich nie gesehen, aber bei mir ist auch det(A+A^t)also nicht zweimal A. aber eigentlich kann man auch sagen dass sie gleich sind:D naja ich denke aber immernoch dass es richtig ist

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Schau eventuell mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Multiplikation_mit_Skalaren

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Ja 3 ist denke ich auch falsch.

Und was ist mit 4. Gibt's da eine Regel?

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Wenn ich jetzt nochmal die 4 angucke denke ich dass es auch falsch sein kann, da was ist wenn die det 0 ist und die translonierte auch null. Dann kann ja nie grösser 0 sein. Oder?

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Bedenke die Determinante einer invertierbaren Matrix ist nie 0.

Also ist die Determinante der Transponierten auch nie 0.

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Ich glaube, es ist \(det(2A) = (\frac{1}{2})^{n} \cdot det(A) \)

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@Mona1010

Fast. Schau mal auf

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!407:Rechenregeln_zu_Determinanten

det(λ ∗ A) = λ^n ∗ det(A)

also

det(2 ∗ A) = 2^n ∗ det(A) mit n als Spalten-/Zeilenanzahl.

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Jau, stimmt, danke :)