Question

Beweisen Sie den Satz  über die Eigenschaften von transponierten Matrizen:

Seien A,B ∈ Rm×n, C ∈ Rn×k. Dann gilt
a) (A^T)^T = A
b) (A + B)^T = A^T + B^T
c) (AC)^T = C^T A^T

Answer 1

a) Sei A = a _{i j}

Dann:

( A ^T ) ^T = ( ( a _{i j} ) ^T ) ^T = ( a _{j i} )^T = a _{i j}

b) Sei A = a _{i j}  und B = b _{i j}

Dann:

( A + B ) ^T = ( a _{i j} + b _{i j} ) ^T = ( c _{i j} ) ^T = c _{j i} = a _{j i} + b _{j i} = A ^T + B ^T

c) Sei A = a _{i j} und C = c _{j k}

Dann:

( A C ) ^T = ( ∑_j a _{i j} * c _{j k} ) ^T = ( d _{i k} ) ^T = d _{k i} = ∑_j a _{j i} * c _{k j} = ∑_j c _{k j} * a _{j i} = C ^T * A ^T

Comments

zu c)

∑_j a _{j i} * c _{k j} = ∑_j c _{k j} * a _{j i}

_{Aber wieso darf man das einfach machen? 2 Matrizen bei Multiplikation vertauschen darf man doch nicht, oder?}

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Hier ist es ja nur das Produkt der einzelnen Einträge. Das ist kommutativ.

Bspw. a₁₁*b₁₁ = b₁₁*a₁₁