Es bezeichne "\(\sim\)" die Ähnlichkeit von Matrizen,
was bekanntermaßen eine Äquivalenzrelation ist.
Dann gilt: \(A\sim B\Rightarrow A^T\sim B^T\); denn
\(A\sim B\Rightarrow \exist Q: \; A=Q^{-1}BQ\). Daher
\(A^T=Q^TB^T(Q^{-1})^T=Q^TB^T(Q^T)^{-1}\), also \(B^T\sim A^T\).
Wir haben über \(\mathbb{C}\):
\(A\sim J=diag(J_1,\cdots,J_k)\), wobei die \(J_r\) (\(r=1,\cdots,k)\)
die einzelnen Jordanblöcke sind und \(diag\) die aus diesen
gebildete Block-Diagonalmatrix bezeichnet.
Nun rechnet man leicht nach, dass \(J_r^T=P_r^{-1}J_rP_r\) ist,
wobei$$P_r^{-1}=P_r=\left(\begin{array}{ccccc}0&0&\cdots&0&1\\&&\cdots&&\\1&0&\cdots&0&0\end{array}\right)$$ist, also die Permutationsmatrix,
die die Reihenfolge der Zeilen/Spalten umkehrt.
Mit \(P=diag(P_1,\cdots,P_k)\) haben wir dann:
\(P^{-1}JP=diag(P_1,\cdots,P_k)^{-1}diag(J_1,\cdots,J_k)diag(P_1,\cdots,P_k)=\)
\(diag(P_1^{-1}J_1P_1,\cdots,P_k^{-1}J_kP_k)=diag(J_1^T,\cdots,J_k^T)=J^T\).
Insgesamt haben wir nun: \(A\sim J\Rightarrow A^T\sim J^T\sim J\sim A\).
