Zeigen Sie: Die komplexe Konjugation definiert einen Ringautomorphismus von Z[i]

Question

Aufgabe:

Sei

\( \mathbb{Z}[i]:=\{a+b i \in \mathbb{C} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} \subset \mathbb{C} \)

Mit den von \( \mathbb{C} \) vererbten Operationen

\( \begin{array}{c} (a+b i) \text { 田 }(u+v i):=(a+u)+(b+v) i \\ (a+b i) \square(u+v i):=(a u-b v)+(a v+b u) i \end{array} \)

bildet \( \mathbb{Z}[i] \) den (kommutativen) Ring der Gaußschen Zahlen.

a) Zeigen Sie: Die komplexe Konjugation

\( \mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{Z}[i] \quad a+b i \mapsto \overline{a+b i}:=a-b i \)

definiert einen Ringautomorphismus von \( \mathbb{Z}[i] \).

b)

- Zeigen Sie, dass die Abbildung \( N: z \mapsto z \bar{z} \) von \( \mathbb{Z}[i] \) nach \( \mathbb{N}_{0} \) multiplikativ ist: Für \( z, z^{\prime} \in \mathbb{Z}[i] \) gilt \( N\left(z \square z^{\prime}\right)=N(z) \cdot N\left(z^{\prime}\right) \)

- Benutzen Sie die Multiplikativität von \( N \) um die Menge \( \mathbb{Z}[i]^{*} \) der invertierbaren Elemente von \( \mathbb{Z}[i] \) zu bestimmen.

c) Prüfen Sie nach, dass \( \mathbb{Z}[i] \) mit den Operationen 田 und \( \square \) die Axiome eines kommutativen, nullteilerfreien Ringes erfüllt.

Bemerkung: Die Definition der Menge \( \mathbb{Z}[i] \) ist nicht zu verwechseln mit dem Polynomring \( \mathbb{Z}[x] \). Erinnern Sie sich an die Konstruktion von \( \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \) in LA1.

Answer 1

Automorphismus ist doch ein bijektiver Homomorphismus
von Z[i] auf sich.

Dass "Konjugation" ein Homomorphismus ist, zeigst du leicht
durch:   Konjugation von z1 + z2 =   Konjugation von z1 +   Konjugation von z2
denn mit z1=a1+i*b1 und z2 = a2 + i*b2 ist
                  z1 + z2 = (a1+i*b1) + (a2+i*b2)
                               = (a1+ a2) +  i*(b1+b2)
und konjugiert also (a1+ a2) -   i*(b1+b2)
                            = (a1 - i*b1) + (a2 - i*b2)
                          = Konjugation von z1 +   Konjugation von z2

ebenso leicht siehst du für x aus R

Konjugation von x*z1 = x*   Konjugation von z1

also ist es ein Hom.

injektiv heißt  wenn zwei konjugierte gleich sind, sind

auch die originale gleich, klar:    a1 - i*b1 = a2 - i*b2

heißt a1=a2 und b1 = b2

also auch a1 + i*b1 = a2 + i*b2

surjektiv:  sei z aus Z[i], dann z = a+bi

dann gibt es immer ein z1 ( nämlich z1 = a-bi) so, dass

z das konfugierte von z1 ist.

Also bijektiver Hom. also Automorphismus