Zu zeigen ist, dass f die Eigenschaft eines Homomorphismus erfüllt, das ist die folgende:
f(x•y) = f(x) · f(y)
Wobei • und · jeweils Verknüpfungen de Körper sind. Eigentlich ist noch zu zeigen, dass f zwischen zwei Körpern abbildet, aber ℂ ist ja ein Körper.
Da die Abbildung von ℂ nach ℂ geht, muss also homomorphismus bezüglich + und * überprüft werden.
Zu zeigen ist also:
I) f(x+y) = f(x) + f(y)
II) f(x*y) = f(x) * f(y)
ad I): Seien x, y ∈ C, das heißt es existieren a, b, c, d ∈ℝ mit:
x = a + ib
y = c + id
Dann gilt:
f(x+y) = f((a+ib)+(c+id)) = f(a+c+i(b+d)) = a+c-i(b+d) = (a-ib) + (c-id) = f(a+ib) + f(c+id) = f(x)+f(y)
Was zu zeigen war.
ad II): Seien x, y ∈ C, das heißt es existieren a, b, c, d ∈ℝ mit:
x = a + ib
y = c + id
Dann gilt:
f(x*y) = f((a+ib)*(c+id)) = f(ac-bd + i(ad+bc)) = ac-bd - i(ad+bc) = (a-ib)*(a-id) = f(a+ib)*f(a+id) = f(x)*f(y)
Was zu zeigen war.
Der vorvorletzte Schritt kann zum Beispiel noch separat durch Ausmultiplizieren von (a-ib)*(a-id) gezeigt werden.
Damit sind beide Bedingungen erfüllt, f ist also ein Körperhomomorphismus.
