Finden Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung: |a| * â = ia, â ist die Konjugation von a.

Question

1.) |a| * â = ia, â ist die Konjugation von a

Ich habe schon alles mögliche probiert, aber ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll.

Ich hänge jetzt bei â^3 + a = 0

Comments

Hast du es mit:

a  = x + iy

versucht?

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Ja, habe ich gemacht, aber das wurde dann endlos lang und kam irgendwie zu keinem Ergebnis.

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Nach der Rechnung von Grosserloewe sieht es so aus, dass |a| =  1 sein muss.

Das hätte man hier schon sehen können.

|a| * â = ia   | Betrag

|a| * |a| = |i| * |a|

Also |a| = 1.

Also

a = e^{i u }, â = e^{-iu}

Links     =?= Rechts

1 * e^{-i u} =? = e^ (i*pi/2) * e^ (i *u) = e^ ( i ( u + pi/2))

Für welche Winkel u stimmt das?

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Ja, auf sowas bin ich beim Googlen auch schon gestoßen, aber das hatten wir in der Vorlesung noch gar nicht.

Answer 1

Finden Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung: |a| * â = ia, â ist die Konjugation von a.

 

Comments

Danke, aber ich verstehe die vorletzte Reihe nicht, warum steht da x^2 + y^2 nicht mehr unter der Wurzel sondern nur in Klammern?

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Ist dein Resultat denn jetzt:

x = -y

und zudem x^2 + y^2 = 1  ?

Das wären ja

z1 = 1/2 (√2 - i√2)

und

z2 = 1/2 (-√2 + i√2)

? Oder?

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Ich hätte gesagt:

z1=√(1/2)-√(1/2)*i

z2=-√(1/2)+√(1/2) oder?

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"z1=√(1/2)-√(1/2)*i

z2=-√(1/2)+√(1/2)*i oder? "

Das ist eigentlich dasselbe, wie meins. 

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Ich habe aber mal eine andere Frage. Wie löst man solche Gleichungen denn überhaupt? Ich habe mir nämlich die Mühe gemacht und x ausgerechnet und danach das passende y

Re z: -x^3 -x + 3xy^2=0

Im z: 3x^2y-y^3-y=0

Es folgt:

x1=0, x2,3=± √(1/2)

Aus x1 folgt:

z1=0, z2=-1, z3=1

Aus x2=√(1/2) folgt:

z4,5=√((1/2)±√(1/2)*i

Aus x3 folgt:

z6,7=-√(1/2) ±√(5/2)*(i)

z8,9= -√(1/2)±√(5/2)*(-i)

Geht sowas?