Lösung der komplexen Gleichung 2*z*Re(z) + 2*z'*Im(z) = z^2 +1

Question

Berechnen sie die Lösungen L(Teilmenge C) der Gleichung (z' soll das komplexe Konjugat zu z sein):

2*z*Re(z)  + 2*z'*Im(z)  = z^2 +1

Soweit zur Aufgabenstellung, ich habe schon etwas rumprobiert, habe aber keine Ahnung ob das überhaupt der richtige Ansatz ist? Jedenfalls kommt hier mein Ansatz, achja die Lösungen (-1,1) weiß ich auch, bloß will ich den Weg dahin verstehen. 

2*Re(z)  = z+z'  -> 

z*(z+z')+2*z'*Im(z)  = z^2 +1

z^2+z*z'+2*z'*Im(z)  = z^2 +1     //(z^2 kürzen) 

z'*(z+2*Im(z)) = 1

Entschuldigung für diese Deformation(ich kenne bloß den richtigen Syntax hier nicht) 

Was mach ich jetzt? Ihr könnt ruhig den kompletten Lösungsweg angeben, das Verständnis ist bei mir selten ein Problem) 

Pyro

Answer 1

Ich habe mal für z=a+bi und z ' = a-bi eingesetzt; 

Dann ist ja Re(z) = a  und Im(z) = b

Das ergibt dann

2a^2 + 2a   = a^2 - b^2 + 1    und

(2ab - 2b)*i = 2abi    also   b=0   und von oben


2a^2 + 2a   = a^2  + 1 

also a = - 1 ±√2    .Demnach 2 Lösungen    z =  - 1 +√2    + 0*i 

oder    z =  - 1 -√2    + 0*i 

Comments

Kann es sein, dass ein Faktor b fehlt?

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Könntest du mir nochmal bei einer anderen Aufgabe helfen:

Re(iz) + i*Re(z)  + Re(z) + i*Im(z) = z' + 1

 

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mit z = a+bi wird aus

Re(iz) + i*Re(z)  + Re(z) + i*Im(z) = z' + 1

die Gleichung

- b   +  ai    +     a    +   bi =  a - bi + 1

also

a - b = a + 1   und   a+b = - b
    -b = 1 

     b = -1        und  a - 1 = 1

                               a = 2  

Damit  z =   2 - i

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Jetzt hab ich es endlich gerafft,  dankeschön :) 

Ich prüfe nochmal die erste Aufgabe (bei wolfram kam nämlich was anderes raus :p) 

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Und an nn:

Meinst du (2ab - 2b)*i = 2abi 

sollte 

(2ab-2b^2)*i = 2abi sein? 

(ändert aber nichts am Ergebnis) 

oder 2a^2 + 2a = a^2 - b^2 + 1 sollte

2a^2 + 2ab = a^2 - b^2 + 1

-> a^2 + 0 = 0 - 0 +1    - > a = +-1

Jetzt stimmt auch alles :)