Zeichne Mengen komplexer Zahlen in der komplexen Zahlenebene ein. a) Eigenschaft z konjugiert = -z

Question

Zeichnen Sie die folgenden Mengen komplexer Zahlen in der komplexen Zahlenebene ein.

(12 Punkte) Fertigen Sie Skizzen der folgenden Mengen an (eine Rechnung ist nicht
erforderlich)


a) {z element der komplexen zahlen  mit der eigenschaft z konjugiert = -z}

b) { z element der komplexen zahlen mit der eigenschaft z ungleich null und z konjigiert = z ^-1}

d) { z element der komplexen zahlen mit der eigenschaft Re(z)<Im(z)}


bitte um fingende hilfe ich weiß nicht wie ich das zeichnen soll bitte aufzeichnen und genau erklären wie man das macht.

Answer 1

a) {z element der komplexen zahlen  mit der eigenschaft z konjugiert = -z}

z = a + ib

heisst z konj = a -ib       und -z = -a - ib also muss a=0 sein.

Also die imaginäre Achse

b) { z element der komplexen zahlen mit der eigenschaft z ungleich null und z konjugiert = z ^-1}

z = r * e^{i phi}                    z konj = r * e^{- i phi}                      z^{-1} = 1/r * e^{- i phi}

Es muss r=1 sein. Dh. der Einheitskreis z = e^{i phi}

d) { z element der komplexen zahlen mit der eigenschaft Re(z)<Im(z)}

z= x + iy      mit x < y        z.b. x=1 und y = 2

x=y einzeichnen als 'offene' Grenze  gestrichelt 

Feststellen auf welcher Seite der Geraden z = 1 + 2i liegt (oben). Bereich oberhalb dieser Geraden markiern

Comments

zu (b): z = r * e^{i phi} hatten wir in der Vorlesung/Skript nicht; und woher weiß ich, ob ich mit z=x+iy oder mit z = r * e^{i phi} ansetzen muss?

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Du kommst ja selbst auf x^2 + y^2 = 1. Das sind nach Pythagoras alle Punkte auf dem Einheitskreis.

Mit der Polardarstellung

z = r * e^{i phi} ist dasselbe wie z = r * (cos phi + i sin phi)

kann man etwas einfacher dividieren und Wurzeln ziehen, da die üblichen Potenzgesetze gelten..

Man kann zeigen, dass sich bei Multiplikation 2er Zahlen die Abstände vom Ursprung multiplizieren und die Winkel ab der reellen Achse gemessen addieren.

Answer 2

Ich versuchs einfach mal (bin selber beim Singhof :P):

z~ soll die komplexe Konjugation darstellen.

(a) z~=-z ⇔x-iy=-(x+iy) ⇔ x-iy=-x-iy ⇔ -x=x

Die Gleichung erfüllt nur x=0.

(b)z~=z^-1 ⇔ x-iy=1/(x+iy) ⇔ (x-iy)(x+iy)=1 ⇔ x²-i²y²=1 ⇔ x²-y²=1 ⇔ x²=1+y² ⇔ y²=x²-1

⇔y=x-1 oder y=x+1

Also alle Punkte auf den beiden Geraden.

(d) Re(z)<Im(z) ⇔ x<y

Also alles unterhalb der Geraden y=x.

Comments

Ich meinte alles oberhalb -.-

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Ich hab bei b) was anderes und sehe weshalb

 x²-i²y²=1 ⇔ x²+y²=1

Das gibt nach Pythagoras den Einheitskreis y = ±√(1-x^2)

 

Den Rest besser nicht benutzen:

⇔ x²=1+y² ⇔ y²=x²-1        Du darfst hier nicht so Wurzeln ziehen.

⇔y=x-1 oder y=x+1

Also alle Punkte auf den beiden Geraden.