Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z2 − 2*z1 + 1 = 0, wobei z1 das komplex konjugierte von z ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung
z^2 − 2*z1 + 1 = 0

,wobei z1 das komplex konjugierte von z ist.

Problem/Ansatz:

Wie löst man so eine Gleichung, bei dem man einen komplex konjugierten Teil hat? Meine Idee war es, die Gleichung in die Form (a+ib)^2-2*(a-ib)+1=0 umzuschreiben, aber das scheint mir auch nicht richtig zu sein.

Comments

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Answer 1

Meine Idee war es, die Gleichung in die Form (a+ib)²-2*(a-ib)+1=0 umzuschreiben.

Mach das und löse die Gleichung.

Comments

Hast du vielleicht ein paar Tipps, wie ich die Gleichung lösen kann?

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Löse die Gleichung so als ob \(\mathrm{i}\) eine Variable wäre. Außer wenn während deiner Rechnung \(\mathrm{i}^2\) auftaucht; das darfst du dann durch \(-1\) ersetzen.

Answer 2

$$z^2-2\overline z+1=0$$$$(a+b\mathrm i)^2-2(a-b\mathrm i)+1=0$$Multipliziere aus und sortiere Real- und Imaginärteile$$(a^2-2a-b^2+1)+(2ab+2b)\mathrm i=0.$$Beide Teile müssen Null sein.

Der Imaginärteil wird genau dann Null, wenn \(a=-1\) oder \(b=0\) ist.
Für \(a=-1\) wird der Realteil Null, wenn \(b=2\) oder \(b=-2\) ist.
Für \(b=0\) wird der Realteil Null, wenn \(a=1\) ist.

Die Lösungen lauten demnach \(z_1=-1+2\mathrm i\), \(z_2=-1-2\mathrm i\) und \(z_3=1\).