Schnittsechseck Ebene - Würfel

Question

Aufgabe:

Sei V = ( ℝ³ , ⟨ , ⟩) der euklidische Raum. Wir betrachten den Einheitswürfel, i.e. Den Würfel mit Kantenlänge 1, der mit einer Ecke im Ursprung (0,0,0)^T liegt und mit einer anderen Ecke in (1,1,1)^T. Sei E die Ebene durch den Mittelpunkt des Würfels senkrecht zu Raumdiagonalen von (0,0,0)^T zu (1,1,1)^T .

Beweisen sie, dass die Schnittfläche der Ebene mit dem Würfel ein regelmäßiges Sechseck bildet.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll!

Answer 1

Zeige das die Mittelpunkte von sechs Kanten des Würfels in E liegen.

Verbinde die sechs Mittelpunkte zu einem Sechseck.

Zeige das jede Kante des Sechsecks gleich lang ist.

Zeige dass die Innenwinkel des Sechsecks gleich groß sind.

Comments

Wie soll ich dies dann zeigen ?

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Ich meine wie soll ich all das zeigen, was du hier geschrieben hast ?;(

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Zeige das die Mittelpunkte von sechs Kanten des Würfels in E liegen.

Ich glaube in der Schule nennt man das Punktprobe.

Zeige das jede Kante des Sechsecks gleich lang ist.

Für die Länge des Vektors \(\vec{AB}\) gibt es eine Formel. Schau mal nach, ob du sie in deinen Unterlagen findest.

Zeige dass die Innenwinkel des Sechsecks gleich groß sind.

Auch für den Winkel zwischen zwei Vektoren gibt es eine Formel. Schau mal nach, ob du sie in deinen Unterlagen findest.

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A^T (0,0,0); B^T (1,0,0) ; C^T(1,1,0); E^T(0,0,1) ; F^T(1,0,1) 

E^→D =(0 1 0 - 0 0 1m) = (0,1,-1).        E^→F = ( 1 0 1 - 0 0 1 ) = ( 1 0 0 )

Ebene Ε^Schlange = E+s • E^→D + t • E^→F = (0 0 1 ) + s • (0 1 -1) + t • (1 0 0)

E^schlange = C

(1 1 0 ) = ( 0 0 1 ) + s • (0 1 -1) + t • ( 1 0 0 )

Gleichungssystem

1 = 0 + s • 0 + t • 1 ⇒ t = 1

1= 0 + s • 1 + t • 0  ⇒ S = 1

0 = 1+s - 1 + t • 0 ⇒ 0 = 0

_________

E^schlange = MP

(1/2 1/2 1/2) = ( 0 0 1) + s • ( 0 1 -1) + t • (1 0 0 )

Gleichungssystem

1/2 = 0 + s • 0 + t • 1 ⇒ t = 1/2
1/2 = 0 + s • 1 + t • 0  ⇒ S = 1/2
1/2 = 1+s - 1 + t • 0 ⇒ 1/2 = 1/2

Der Mittelpunkt liegt bei MP( 1/2 ; 1/2 ; 1/2), weil der Würfel ein Einheitswürfel ist.

Also so weit bin ich jetzt gekommen aber ich Weiße es nicht  ob es richtig ist oder nicht + wie es weiter geht

Answer 2

Du könntest natürlich mal die Ebenengleichung aufstellen und die Schnittpunkte mit den Würfelkanten berechnen.