Metrischer Raum mit der euklidische Metrik

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie R² als metrischen Raum mit der euklidischen Metrik.

a) Geben Sie zu M = { (x, y) ∈ R² : 0 < x² + y² ≤ 1/2} ⊂ R²
i) die Menge M° aller inneren Punkte von M und
ii) die Menge ∂M aller Randpunkte von M an.
b) Beweisen Sie, dass M nicht offen ist.

Answer 1

die Menge M° aller inneren Punkte von M

= { (x, y) ∈ R² : 0 < x² + y² < 1/2}

und die Menge ∂M aller Randpunkte von M

= { (x, y) ∈ R² :  x² + y² = 1/2} ∪ {(0;0)}

b) Der Punkt P( 0 ; 1/√2 ) gehört zu M,

aber in jeder ε-Umgebung von P liegt

ein Punkt Q(( 0 ; ε/2 +1/√2 ) für den gilt

x^2 + y^2 = 0 + (ε/2 +1/√2 )^2 =ε^2 + ε/√2 + 1/2 > 1/2

also Q nicht in M.