den Wert des Integrals bestimmen

Question

Hallo!

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Ich habe als Grenzwert 0 rausbekommen. Kann das so stimmen? Wenn ich mein Ergebnis mit dem Integralrechner vergleiche, kommt als Lösung Divergenz raus. Wenn wir als Ergebnis 0 haben, dann konvergiert das Integral ja, oder?

Aufgabe: Bestimme falls möglich, den Wert des Integrals

(2) \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+|x|)^{2}} d x= \) \( \int \limits_{-\infty}^{0} \frac{1}{(1+|x|)^{2}}+\int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{(1+|x|)^{2}} d x= \)
\( \begin{array}{l} \lim \limits_{a \rightarrow-\infty} \int \limits_{a}^{0} \frac{1}{(1+|x|)^{2}}+\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b} \frac{1}{(1+|x|)^{2}} d x= \\ \lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[-\frac{1}{(1+x)}\right]_{a}^{0}+\lim \limits_{a \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{(1+x)}\right]_{0}^{b}= \\ \lim \limits_{a \rightarrow \infty}\left[\left(-\frac{1}{1}+\frac{1}{1+a}\right)\right]+\lim \limits_{b \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1}\right] \\ =[-1+0]+[0+1]=0 \end{array} \)

Answer 1

Aloha :)

Der Integrand ist achsensymmetrisch zur y-Achse, daher gilt:$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{(1+|x|)^2}\,dx=\int\limits_0^\infty\frac{2}{(1+x)^2}\,dx=\left[-\frac{2}{1+x}\right]_0^\infty=0-(-2)=2$$

Comments

Alles klar, aber ich hab ja einmal1/(1+x)^2 und einmal 1/(1-x)^2. Muss ich dann nicht 2 Integrationen durchführen?

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Wegen der Achsensymmetrie kannst du die Funktion um die y-Achse knicken und beide Hälften kommen exakt zur Deckung. Das heißt, das Integral von \((-\infty)\) nach \(0\) ist genauso groß wie das Integral von \(0\) nach \(\infty\). Daher berechnen wir nur die rechte Hälfte \(x\ge0\) und nehmen das Ergebnis mal \(2\).

~plot~ 1/(1+abs(x)) ; [[-10|10|0|1]] ~plot~

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Alles klar, das habe ich nun verstanden, danke dir vielmals!

Noch eine Sache: Wir müssen hier ja eine Fallunterscheidung durchführen, d.h. ich muss die beiden Integrale bestimmen.

Für \(x < 0\) ist \(\frac{1}{(1+|x|)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}\).

Für \(x \geq 0\) ist \(\frac{1}{(1+|x|)^2}=\frac{1}{(1+x)^2}\)

Also einmal das erste Integral und einmal das zweite Integral achsensymmterisch bestimmen.

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Du brauchst doch keine Fallunterscheidung zu machen... Da beide Seiten links und rechts von der \(y\)-Achse denselben Beitrag zum Integral leisten, rechnen wir einfach nur den Teil rechts von der \(y\)-Achse und verdoppeln das Ergebnis.

Answer 2

Für \(x\leq 0\) ist der Integrand \(\frac 1{(1+|x|)^2} = \frac 1{(1{\color{blue}{-x}})^2}\).

Damit wird das erste Integral

$$\int_a^0 \frac 1{(1{\color{blue}{-x}})^2}dx = \left[\frac 1{1-x}\right]_a^0$$

Comments

Das kann ich leider noch nicht nachvollziehen. Warum 1/(1-x)^2, wenn wir ein betragszeichen haben? Muss das dann nicht immer positiv sein?

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Wenn x negativ ist, ist -x positiv.

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Achso, muss man hier eine Fallunterscheidung machen, da wir ja |x| haben?

D.h, wir betrachten einmal den Fall |x| > 0 und einmal den Fall |x| ≤ 0.

Aber wie muss ich dann das Integral aufschreiben? Muss ich es nicht aufsplitten, einmal von -∞ bis 0 und einmal von 0 bis unendlich?

Answer 3

Hallo

da die zu integrierende funktion symmetrisch zu x=0 ist, ist das Integral einfach 2 mal das von 0 bis oo, wenn du die überall positive Funktion ansiehst ist auch klar, dass das Integral positiv sein muss. also 2 mal dein Ergebnis von 0 bis b

dein Fehler für x kleiner Null hättest du nicht 1/(1+x)^2 ansetzen dürfen sondern 1/(1-x)^2, dann kannst du auch von a bis 0 integrieren.

Gruß lul

Answer 4

Die Stammfunktion von \(f(x) = \frac{1}{(1+|x|)^2}\) ist

        \(F(x) = \begin{cases}\frac{1}{1-x}&x < 0\\-\frac{1}{1+x}&x\geq 0\end{cases}\)

Comments

Das kann ich ehrlich gesagt noch nicht nachvollziehen, warum 1/(1-x) und warum -1/1+x

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Für \(x < 0\) ist \(\frac{1}{(1+|x|)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}\).

Für \(x \geq 0\) ist \(\frac{1}{(1+|x|)^2}=\frac{1}{(1+x)^2}\).

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Alles klar, jetzt check' ich's. Und wie muss ich das Integral aufschreiben? Muss ich's dann einmal von -unendlich bis 0 und von 0 bis unendlich aufteilen und dann mit dem 1. Fall |x| ≥ 0 und mit dem 2. Fall |x| <  0 rechnen, also insgesamt 2 Berechnungen durchführen?

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Muss ich's dann einmal von -unendlich bis 0 und von 0 bis unendlich aufteilen

Ja, so wie du das gemacht hast. Jetzt musst du nur noch die richtige Stammfunktion verwenden. Das heißt:

\(\lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[-\frac{1}{(1+x)}\right]_{a}^{0}\)

Wo kommt das denn in deiner Rechnung her?

Und übrigens:

2. Fall |x| <  0

Lies dir noch mal ganz genau durch, was du hier geschrieben hast. Vielleicht auch mal auf deutsch übersetzen :-)

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\(\lim \limits_{a \rightarrow-\infty}\left[-\frac{1}{(1+x)}\right]_{a}^{0}\)

das ist ja die Stammfunktion von der Ausgangsfunktion. Die sollte ja so passen. Zwar hat der Integralrechner einen anderen Rechenweg vorgeschlagen, aber den konnte ich nicht wirklich nachvollziehen

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In dem Ausdruck \(\lim \limits_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} \frac{1}{(1+|x|)^{2}}\,\mathrm{d}x\) integrierst du von \(a\) bis \(0\) und \(a\) geht gegen \(-\infty\). Dann muss du die Stammfunktion für \(x < 0\) verwenden.