Question

Sei (M, d) ein metrischer Raum, A ⊂ M. Zeigen Sie:

(a) Sei (x_n)_n∈ℕ eine Folge in A, die gegen x ∈ M konvergiert. Dann ist x ∈ A¯(Abschluss)
(b) A¯(Abschluss) = {x ∈ M | es gibt eine Folge a : N → A mit lim_n→∞ a_n = x}=: GW(A), die Menge
der Grenzwerte von A.

Comments

Manche Leute würden das, was Ihr beweisen sollt, als die Definition von Abschluss ansehen. Daher: Wie habt Ihr Abschluss definiert?

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Ich würde vermuten, da das die Standarddefinition vom Abschluss in metrischen Räumen ist: Der Abschluss von \(A\) ist die Menge aller Punkte \(x\), sodass für jedes \(\varepsilon>0\) gilt: \(B_\varepsilon(x)\cap A\neq\emptyset\).

Da purzelt die Aufgabe a) auch am direktesten bei raus.